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 ou évidemment 



z-^ Jf{nm' — in'n)'~*^[x, j) = o. 



De même, en multipliant la première par m, la seconde par m', et retran» 

 chant, on obtient 



z-rz + x{mn' — m'n)'~* ({>{x,j) = o. 



Ce sont donc précisément les équations (i) qui se trouvent reproduites, en 

 y multipliant ç {x,j-) par {mn'— m'n)'~* ou remplaçante par ^ — j— — r^p;> 



et il va être ainsi prouvé que les coefficients de la transformée sont bien 

 des invariants de J {x, j). En effet, cette équation en z sera, d'après un 

 théorème connu, privée de son second terme, et si l'on désigne par D le 

 discriminant, elle aura cette forme : 



%, ^, . .., M étant des fonctions entières de a, b, c,... . Maintenant, si 

 l'on remplace z par , — -, , ,. , , elle deviendra 



• '^ [mn — m n)'~^ 



% îî 



L"-f- {mil' - m'n)-'-^ ^ z"'- + {mn' - m'«)"-' ^z""' + . . . 



-h{mji' — m'n)"'-"^ = o, 



d'où l'on voit que par le changement de a, 6, c,... en A, B, C,..., les coef- 

 ficients ^j —■>•••■> -^ » tît, par couséquent, %, |5, . . . , iî, se reproduisent 



multipliés par une puissance du déterminant de la substitution, et sont bien 

 des invariants. 



» YI. Ce qui précède ne peut être appliqué aux formes cubiques et bi- 

 quadratiqaes, qui n'ont pas de covariants linéaires ni de covariants quadra- 

 tiques, mais plus tard on établira pour toutes les formes de degré n, égal 

 ou supérieur à cmç, l'existence de divers systèmes de /; — i covariants du 

 degré n — 2. Désignant par 



l'un de ces systèmes, et posant 



f{x, r) = t,9<{^, j) + ^2<]52(^, j)+ ■.. + /„_, <p«-,(^,j), 



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