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j'introduirai l'expression z= jr-j^ — —, qui contient n— i quantités arbi- 



traires t,, t^,...^ <„_,, comme formule générale de transformation à l'égard 

 de réquationy^(x, i) = o de degré quelconque supérieur au quatrième. On 

 va voir ainsi disparaître en quelque sorte les coefficients de cette équation, 

 pour faire place aux invariants qui prendront le caractère d'éléments ana- 

 lytiques dans les plus importantes questions de la théorie des équations 

 algébriques. En effet, les quantités Jl, f3,..., M deviendront des fonctions 

 homogènes de <,, t^,-.., tn-ii du second, du troisième, et enfin du «'•"'"' de- 

 gré, dont les coefficients seront des invariants de la formey^( j:, jr) ; et pour 

 montrer immédiatement comment intervient leur propriété caractéristique, 

 en prenant, par exemple, 21, je vais déterminer le degré de ces coefficients 

 dans les divers termes <J, tl, t, t^, etc. 



» Nommons indice d'un invariant ou d'un covariant çp(j",j") l'expo- 

 sant /, qui figure dans l'équation de définition 



f{X, Y; A,B, C,...) = {mn' — m'n/f{mX. + m'Y, nX -hn'Y; a, b, c,...), 



et soient /,, l'a,..., /„_, les indices des covariants <f{[x, j), (f2{x^ j-),..., 

 fn-i {^1 y) qui entrent dans la formule générale de transformation. D'après 

 la démonstration donnée (§ V), le changement de a, b, c,... en A, B, C,..., 

 dans l'équation en z, revient à remplacer f,, ti,..., par i,{inn' — m'n)''~\ 

 t^lmn' — m'ny~\..., et il en résulte immédiatement que l'indice du coef- 

 ficient d'im terme quelconque t^ t^ dans % sera iy, + i^ — 2. Mais ce coef- 

 ficient a pour diviseur le discriminant dont l'indice est n{n — i); par consé- 

 quent l'indice du numérateur sera la somme /«-l- i^ — 2 4- n[n — i), et son 

 degré en a, è, c,... le double de cette quantité divisé par n, c'est-à-dire 



■2(1 + i ■) — 2) 



-^-^ + 2(« — i). En introduisant le degré (?a du covariant fa (^, 7) 



en a, è, c,..., au lieu de l'indice !„, d'après la relation af^ = «£?« — n + 2, 

 cette formule se simplifie et devient â^-{- â^+ in — [\. On trouvera pour la 

 forme cubique îî, absolument de même, que le degré du coefficient de 

 t^t^ty est c?a -4- <?/3 -4- «?y + 3ra — 6. Ce sont ces fonctions 51 et lU qui jouent 

 le principal rôle dans la réduction à la forme trinôme de l'équation du cin- 

 quième degré, car cette réduction dépend de la résolution des équations 

 21 = o, IP = o. Et ici le point qui m'a semblé le plus essentiel et m'a le plus 

 préoccupé consiste à vérifier la première en exprimant /,, t^, t^, ^4 en fonc- 

 tion linéaire de deux indéterminées. La méthode à laquelle j'ai été amené 

 rejjjose en entier sur le choix des quatre covariants du troisième degré qui 

 entrent dans la formule de transformation, et voici comment on les obtient. » 



