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» Je commence par exposer les propriétés fondamentales des fonctions 

 entières irréductibles suivant un module premier, c'est-à-dire des fonctions 

 qui ne sont pas congrues, suivant le module, à des produits de fonctions 

 entières, dans le sens ordinaire du mot. Je fais connaître le nombre total 

 des fonctions entières irréductibles d'un degré donné, suivant un module 

 donné. 



» Ensuite, comme chaque fonction irréductible divise, suivant le mo- 

 dule, une infinité de puissances de la variable, diminuées de l'unité, je 

 rapporte au plus petit exposant de ces puissances la fonction irréductible 

 correspondante. En sorte que les fonctions irréductibles se trouvent classées 

 d'après l'exposant auquel elles appartiennent. Je fais connaître ici le 

 nombre total des fonctions irréductibles d'un degré donné qui appar- 

 tiennent à un exposant donné, relativement à un module premier donné. 

 De ces considérations découlent plusieurs conséquences intéressantes pour 

 l'Algèbre. 



« Les résultats que je viens d'énoncer permettent d'établir une compa- 

 raison intéressante entre les fonctions irréductibles suivant le même mo- 

 dule et qui appartiennent à des exposants composés des mêmes facteurs 

 premiers. Cette partie de mon travail, à laquelle j'attache quelque prix, per- 

 met de former directement des classes étendues de fonctions irréductibles, 

 ce qui est d'un grand intérêt ; car la méthode générale pour obtenir ces 

 fonctions n'est guère susceptible d'application. Ainsi, en particulier, j'in- 

 dique les cas où il existe des fonctions irréductibles à deux termes et je 

 donne le moyen de les trouver immédiatement. A ces propriétés j'ajoute 

 encore un théorème utile qui fait connaître, pour chaque module pre- 

 mier, une fonction irréductible d'un degré égal à ce module. 



» Après avoir exposé cette théorie, je considère toutes les fonctions en- 

 tières d'une variable, réduites non-seulement suivant un module premier, 

 mais encore suivant une fonction irréductible doimée. J'établis à l'égard 

 de ces fonctions réduites une classification toute semblable à celle qui 

 concerne les fonctions irréductibles elles-mêmes. La fonction irréductible 

 qui intervient ici joue le rôle de module, et je lui donne en conséquence 

 le nom de fonction modulaire. Il existe une infinité de puissances d'une 

 fonction réduite qui sont congrues à l'unité, relativement au module pre- 

 mier et à la fonction modulaire ; le plus petit exposant de ces puissances est 

 Vexposant auquel appartient la fonction réduite. 



» J'arrive enfin à la considération des congruences suivant un module 

 premier et suivant une fonction irréductible. Ces congruences renferment 



