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GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces gauches qui peuvent élre représentées pur di s 

 équations à diffirem es partielles du second ordre. Noie de M Ulysse Dini, 

 présentée par M. Beriraiid. 



« J'ai l'honneur de présenter à l'Académie plusieurs théorèmes que 

 l'on flécoîivre en rech^^rchant les surfaces gauches qui peuvent être repré- 

 sentées par une équation à différences partielles du second ordre. 



» Je désigne par f>, q, r, s, t les dérivées partielles primes et secondes 

 de 2, et par 



^ ' I z = A.r -^ B 



les é(piatioiis d'une droite génératrice d'une surface gauche, n, A, /;, B 

 étant dis fonctions d'un paramètre indéterminé a. L'S théorèmes que je 

 démontre sont les suivants : 



» i" S'il existe n surfaces gauches qui satisfont à l'équation 



F{x; j, z, p, (/, r, s, i) — o, 

 il existera n surfaces qui seront gauches aussi, et qui satisferont à l'équation 



'^7, p, pjc-hqf-z, j, X, -^;^,, 



rt — j^ // 



= o, 



quise déduit de la précédente en changeant x, J,-.., en q, p,..., et réciproque- 

 ment. Et si les premières ont pour équations les (i), les autres seront représentées 

 par 



J =. h — ax , 



c = Ao- — B. 



» On pourrait déduire d'ici plusieurs relations qui existent entre ces deux 

 classes des surfaces gauches. Je ferai seulement remarquer que, si parmi 

 les premières il y en a m qui ont ini plan directeur qui n'est pas parallèle 

 à l'axe des z, il y en aura m aussi parmi les secondes qui ont une directrice 

 rectiligne parallèle à cet axe. 



» i" En cherchant les surfaces gauches qui satisfont à une équation à 

 dérivées partielles, on voit d'abord qu'il pourra y en avoir quelques-unes 

 qui ont un plan directeur parallèle aux z, c'est-à-dire qu'on aura pour elles 



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