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« = const. dans les équations (i). J'écarterai de ces considérations géné- 

 rales ces surfaces que l'on pourra déterminer à part, et, pour les autres, je 

 supposerai que a soit la variable indépendante a elle-même. Cela posé, on a 

 le théorème suivant ; 



)> Pour quil existe des surfaces gauches qui salisfassenl à l'équation 



(2) F(/J, q, r, s, t) = o, 



outre à celles où. a = const., il est nécessaire quil existe une fonction réelle h 

 de a qui rende identique l'équation 



(3) f[a,b,b') = o 

 déduite de la précédente en y posant 



p = b — ab', q = b', r=o, j- = o, t=o, 



où b' indique la dérivée de b par rapport à a, 



» Ce théorème donne une condition nécessaire pour l'existence de ces 

 surfaces; et en même temps, si l'équation (3) n'est pas une identité, elle 

 détermine, à une constante près, leur cône directeur lorsqu'elles existent : 

 on aura b, en effet, en intégrant C équation (3). 



» On déterminera ensuite A et B par d'autres équations, si elles sont 

 compatibles. 



» Supposons, en particulier, que l'équation (2) soit de la forme 



(4) kr^s'^t' + k,r^'s''n'^ +...+ L = o, 



où X, p., V sont des nombres entiers et positifs, et A, A,,..., L sont des fonc- 

 tions finies de p et q, et L est différent de zéro. On aura que : 



)) Pour quil existe des surfaces gauches, outre celles oùa = const., (jui 

 satisfassent cette équation (4), '/ est nécessaire qu'il existe une fonction réelle b 

 de a telle, qu'il soit 



L, =0, 



L, étant le résultat de la substitution de b — ab' et b' au lieu de p et q dans la 

 valeur de L. Cette équation L, = o détermine, à une constante près, le cône 

 directeur de ces surfaces lorsqu'elles existent. 



M Si l'on suppose L = o dans l'équation (4), et si l'on a alors 



l Ar^i'^r+...-4-(L,r'''//'+...+ L„/"i-'«/")'" 

 + (M. r'''i'''' /'.+...+ M„-r'''-/"'i*'"')"'' + ..-, 



