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 où 



m (A, -4-/, 4- A-, )=...= m(Z?„ + ?■„ + k„) = m' {h\ + i\ + A', ) =... 



= '«'(^'„' + v + a;o=---, 



et où les termes des degrés m[hf + /, + A,) sont ceux du degré moins 

 élevé, on a ce théorème : 



)i En excluant toujours les surfaces gauches qui ont un plan directeur parallèle 

 aux z, les autres auront un cône directeur tel, que a et b satisferont à l'une des 

 deux équations suivantes : 



(6) 21(-'r«''^"'^(i^7) + 2(-o'-^« •^"'•^(M7) +... = o, 



ou [Ly], (M'y),... indiquent les résultats de la substitution de b — ab' et b' au 

 lieu de p et q dans Jjy^My,...; de sorte que lorsqu'on ne peut pas satisfaire 

 à la première de ces équations, la surface, si elle existe, aura nécessairement 

 un plan directeur. 



w Si l'équation (5) a la forme 



Ar' s'f + •■-+ {'Rr -h Ss -hTt)'" = o, 



l'équation (6) se réduit à l'autre assez simple 



a^'R- aS+T = o, 



où l'on suppose p=: b — ab', q — //. 



» On peut enfin démontrer que le cône directeur de la surjace, dans le cas 

 des équations algébriques, dépend toujours, à une constante près, des termes du 

 degré moins élevé dans l'équation donnée. Cepenilant, si l'équation (6) est 

 aussi une identité, le théorème précédent cesse d'exister, et le cône direc- 

 teur n'a plus en général cette propriété. 



» Nous devons aussi remarquer que quand l'équation donnée exprime 

 des propriétés des surfaces qui ne dépendent point des axes coordonnés, 

 la restriction qu'on a faite sur les surfaces a = const. devient inutile, et 

 les théorèmes deviennent généraux ■ dans ce cas, en effet, on peut changer 

 z en j-, et vice versa, sans que l'équation (2) change; et si l'une des deux 

 quantités a et b doit être constante dans les équations (i), on pourra tou- 

 jours supposer que ce n'est pas a. 



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