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 )) 3° Maintenant voici des applications He ces théorèmes : 

 » // n'existe pas de suifaces gauches dont les deux rayions de courbure prin- 

 cipaux satisfassent à une relation algébrique 



telle, que, en ta réduisant à forme entière ou en la multipliant par un Jacleur 

 (S'^p'*, elle contienne un terme de la forme M p'" p"", oii l'exposant m est au moins 

 égal au plus grand des exposants de p ou p' dans les autres termes. 

 » Cette relation prendra donc la forme 



^Ap^'-h'^Bp'" -h"^Cp''p'''Mp'"p"'' = o, 



où A, B, C, M sont dfs coefficients coiislanls, et 



M^o, //5m, A = /«, p-Sm, v5w, fi + v < 2in. 



» Ce théorème donne aisément la propiiélé connue^ qu'il ii'exi,\te pas île 

 surfaces réglées à courbure constante; et il donne aussi les théorèmes sni- 

 vants : 



» Le cylindre de révolution est In seule surface réglée dont la courbuie 

 moyenne soit une constante différente de zéro, et il est aussi la seule suif ace réglée 

 lie la classe des surfaces canaux et de celles dont la différence de deux courbiins 

 principales est constante. 



» Les théorèmes qui précèdent conduisent aussi à dire que les surfaces 

 réglées dans lesquelles 



p + p' = const., (3 — p' = const., 



si elles existent, seroni à plan direcleur; on voit ensuite par d'autres équa- 

 tions qu'il n'en est pas de même de celles-ci, et on en conclut que : 



» // n'existe pas de surfaces réglées dont la somme des deux rayons de cour- 

 bure principaux soit une constante différente de zéro., ni de celles dont la diffé- 

 rence des deux rayons de courbure est une constante quebonque. 



» En dernier heu, je remarquerai qu'on pourrait énoncer aussi des théo- 

 rèmes sur les surfaces 



F{x,j,r,s,t)=o, 



en s'aidaiit de ceux énoncés dans les n"' i e' 2. )- 



