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 la formule de transformation 



_ t,f,{x, l) + Uf,{.r, i) + t>(f3 [j:, i) + (<'yi(j, i) 



semblent s'offrir d'eux-mêmes, en partant du covariant quadratique 



ç,(^, j) = (a/3'_ 4/3/+ 3/)^^ + (a«'~ 3/5fi' + 27vr^J 

 + («'|3-4/3'7+3v'^)r% 



et du covariant du troisième degré obtenu au § III, en opérant avec o (x, j) 

 sur la forme proposée /{oc^ j). Désignons, pour les introduire dans l'ex- 

 pression (i), par $(X, Y) et $,(X, Y), les transformées canoniques de 



<f{x, j) et y, (x, j); on aura 



a)(X,Y) = VÂXY, 



$, (X, Y) = p.X^ + 3 s/ÂX= Y + 3 '^k XY- + /jl' Y% 

 et on pourra remplacer 



par 



$, [(?-WÂ)X, (?4-WÂ)Y]. 



Posant donc 



$, [(? - n v/Â) X, (ç 4- ■<, v'Â) Y ] = ^' <I>, (X, Y ) - 3 ^= -0 <K ( X , Y ) 



+ 3£yj=$3(X, Y)-v3'$,(X, Y), 



voici, sous forme canonique, les expressions des covarianis que nous 

 sommes tout d'abord amenés à prendre pour f,(x,j*), (^^[x^j), etc., 

 à savoir : 



(I), (X, Y) = vÂ(/j.X' + 3 v'Â- X- Y 4- 3 V7^XY- + p.' Y'), 

 (])„ (X, Y) = A (,aX» + V^X= Y - V^XY* - /:j.'Y»), 

 (P3 (X, Y) = VA' (/^-X' - v'Â-X= Y - v'^XY- + p-'Y^), 

 cl), (X, Y) r^ A= (p.X3 - 3 v'/f X- Y + 3 v'/^XY^ - /j/ Y'). 



Le premier est du troisième degré par rapport aux coeftîcients de la forme 



