( I075 ) 

 proposée, on, si l'on veut, tlu troisième ordre (*), et a reçu de M. Sylvester 

 la dénomination de canonisani. Sons cette forme de déterminant, savoir : 



?i (-^^ j) = 3 



/3 7 ■/ 



/3 7 7' /3' 



y y' /5' a' 



il sert de base au mémorable travail de l'illustre analyste sur les conditions 

 de réalité des racines de l'équation du cinquième degré. Je me bornerai à 

 observer, à son égard, que toute forme cubique (rt, b, b', a') (x, j)' admet- 

 tant pour covariant l'expression 



(2/;^- 3abl/ + n'a-, b- b' - 

 - b'-b- ab'a' -h ia'b\ 



aha' — inb'-, 



3a' bb' - aa'-){.T,jY 



on en tire un nouveau covariant du troisième degré et du neuvième ordre 

 <!fi,{x,j-), dont je désignerai la forme canonique par y^,(X, Y), de sorte 

 qu'on aura 



W, {X, Y) :^ yjT' {2 \/¥ — 3 iJ.k 4- /J.'/J.-) X» 



+ 3 v/Â^ (s/F + [j.ij: v'Â- - ■> p-k) X- Y 



- 3 v'Â' (v/F + [J.'/ \/k - sp-'k) XY^ 



- V/Â' (2 y/F - 3 [j/k + p.iJ.''-) Y\ 



Le second covariant (p^ [oc, j), qui est du cinquième ordre, donne lieu à une 



observation importante. Lorsque la proposée y (.x-,j) admet un facteur 



linéaire au carré, il contient ce facteur à la première puissance, absolument 



1 i ' ■ > 4f 'If ■11' • 1 • ' ' 



comme les dérivées — et -— ; voici la démonstration de cette propriété. 



» Désignant par (7 et t deux constantes arbitraires, j'observerai qu'en 

 prenant pour les coefficients X, [J., etc., de la forme canonique 



i=a, /.., V^' V'Â-, p.', >.')(X,Y)% 



(*) Pour abréger, je désignerai dcsorm;iis sous le nom d^ordre, le degré des covaiianls ou 

 invariants de/ix, y) par rapport aux coefficients de cette forme. 



143.. 



