( I077 ) 

 plier les notations, leurs formes canoniques seront : 



03(X, Y) =vA^(5fxX' - s/A-X^-Y- s/Â-XY= + Sp/Y^, 

 0,(X, Y) = VÂ^bs/Âp. -h 96(2v'F - 3/^./.- + iJ.'[jr)] X' 



-3VÂ'[3v/Ân/Â' - 96(V^» + ^|:xV^ - 2fx/.)]X=Y 

 + 3 v'Â^ [ 3 v'I v/^- - 96 ( s/F + /jif;.' x/Â' - 9, ix' k ) ] X Y' 



- v/Â^[7VÂ|^/+ 96(2v'F - 3f7.'A- + /V=)]y», 



ou encore 



$,(X, Y) = v'Â' [(7 g - 53A + I ioA> - G4V-'V'^'l^' 



- 3s/Â'[(3g + i5i// - 9oA)v/Â - 64X>-]X^Y 

 + 3v'Â^[f 3g + 1 5 1 /^ - 90/J-) VA- - 64Xp/^] XY^ 



- s/Â' [(7g - 53/2 + I ioA-)p.' - 64X'p.\/Â] Y'. 



» Tous les covariants dont se compose la formule do transformation 

 pour l'équation du cinquième degré sont maintenant définis (*), et il ne me 

 reste plus qu'à montrer que l'invariant du huitième ordre D= A-+ 128B 

 est le discriminant de cette équation. Effectivement les équations (1) rela- 



(*) Celui du neuvième ordre mérite d'être remarqué; si l'on opère en effet avec le cova- 

 riant quadratique sur tfi{x, jr), on est conduit à un covariant du premier degré qui, dans le 

 cas où la proposée contient un facteur linéaire élevé au carré, coïncide avec ce facteur. Sa 

 forme canonique est 



A'[{3g -hiSïk— 90 y?) \/J- — 64Vp^]x — A'[(ig-h i5i // — 90-?) \/7- — 64V'] Y. 



Un résultat analogue a lieu ])our toutes les formes /"= (^, i,..., b' , a'){^,xY de degré 

 impair et supérieur à trois. Soit, en effet, D le discriminant; M. Cayley a démontré que 

 pour D =: o, le covariant 



(ID dD r!D (IT) 



devient la puissance n''"" du facteur contenu alors dans/" au carré. Or en o|)érant sur (p(a:, y 



avec la puissance ■ du covariant quadratique du second ordre de la forme proposée, 



le covariant du premier degré et d'ordre 3« — 4- auquel on scia ainsi amené, sera évidem- 

 ment, pour D = G, ce facteur linéaire. Dans le cas de « ^=: 3, mais dans ce cas seul, il s'éva- 

 nouit identiquement. 



