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lives au cas d'un facreur double donnent 



g = (— 3o(7--+- 61 T7 — 3or-) a'^r', 



d'où 



g' + I aS /i — I a6 /- = o, 



et en remplaçant g, h, k, par leurs valeurs en A, B, C, 



A^+i28B = o, 



ce qui fait voir que D s'évanouit bien dans le cas où la proposée admet 

 deux racines égales. L'invariant du douzième ordre 1), = aSAB + 16C, qui 

 se présentera bientôt, pourrait être appelé second discriminant, les deux 

 conditions D = o, D, = o exprimant que la proposée contient deux fac- 

 teurs linéaires doubles. 



» VIII. Nous voici parvenus à un point bien important et qui servira 

 d'épreuve à toutes les considérations précédentes, c'est le calcul de la forme 

 quadratique à quatre indéterminées désignée par^. Déjà nous savons que 

 les coefficients de cette forme sont des invariants, je vais prouver de plus 

 qu'ils contiennent tous le discriminant D, comme facteur, le coefficient du 

 seul terme Z^ étant excepté. Reprenons à cet effet l'expression 



trfijx, 1) -h lttf-,{x, l) + l'fs (j-, i) + (''y<(x, l) 



et soit pour un instant 



0(x) = ucp^i-T, 1) + i'fpii'^-, )) + '^'f*{-^, i); 



je dis qu'en nommant jCq, jc, , a%, ar,, x, les racines de l'équation propo- 

 sée, la quantité 0(a:o) seradivisible par (^q— -^i) (•^^o — •3P2''(■^o~■^3)(■^o~^■4)• 

 Remplaçons à cet effet-. -, —, —, - daiisSfj?) par leurs valeurs en fonc- 



cr. a. X a a v / i 



tion des racines, 6(jr'„) [ii-endra évidemment la forme suivante : 



n désignant une fonction entière. Cela étant, plarons-nous dans le cas de 

 deux racines égales, en supposant par exemple jr^ ^Jc,, chacun des cova- 

 riants qui entrent dans Q{jc), et par conséquent celle fonction elle-même, 

 s'évanouira pour .r = jCg. Il en résulte que II(j:'o, x,, .T-g, 0-3, xj s'annule 



