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 une autre au delà de ce maximum; mais dans ce cas le parcours utile de la 

 courbe sera limité. Du reste, comme précédemment, on ne pourra jamais 

 obtenir que ces mêmes deux racines conjuguées. J'arrive en définitive à 

 l'énoncé général suivant : 



u Toute équation du degré m à trois termes et ayant des racines réelles en a 

 au moins une que ion peut calculer numériquement à l'aide d'une courbe répon- 

 dant aux conditions ci-dessus énoncées. L équation peut donc s'abaisser d'un 

 degré au moins^ quelquefois de deux si elle n'a que des racines positives; et de 

 trois ou même de quatre, si elle renferme aussi des racines négatives. 



» Dans le cas du cinquième degré, la solution est complète, puisqu'il 

 suffît de l'abaissement d'un degré pour l'assurer. 



)) Mais, réduit à ces termes, le problème se prête à une simplification 

 qui ne laisse plus rien à désirer au point de vue pratique; car au lieu de 

 toute autre courbe, on peut prendre le cercle avec ses fonctions trigono- 

 métriques si commodes, et dont on possède des Tables d'une étendue plus 

 que satisfaisante. C'est ainsi qu'à l'aide de l'équation 



yi _ j,njm-n _^ /.m ^sill'"-".r — Sm'" x) = O, 



oùj- ^r sinx, je calcule de nouveau, dans les types de calcul joints au 

 présent Mémoire, les deux racines conjuguées de l'équation du vingtième 

 degré déjà calculées par la cubo-cycloïde. 



» Désormais le mathématicien qui voudra résoudre une équation du 

 degré m à trois termes n'aura plus, comme dans mes précédents calculs, 

 à quitter ses habitudes. Ses Tables trigonométriques lui suffiront dans tous 

 les cas : les calculs qu'il aura à faire seront tous faciles et à peu près de la 

 même longueur pour tous les degrés. Comme instrument de solution, la 

 cubo-cycloïde n'a plus de raison d'être, et il ne lui reste que l'honneur 

 d'avoir amené la découverte d'un fait capital dans la théorie des équations, 

 fait qu'on aurait pu découvrir il y a deux siècles et demi. 



» En présence d'un pareil résultat, je me demande s'il ne conviendrait 

 pas, au point de vue pratique au moins, de s'occuper plutôt du nombre de 

 termes que renferme une équation, que de son degré. Les équations à deux 

 termes sont depuis longtemps résolues : celles à trois termes viennent de 

 recevoir une rude atteinte parla théorie que je viens d'exposer, et la solu- 

 tion partielle des équations à quatre termes par une voie semblable ne me 

 paraît pas impossible. Le problème de la résolution des équations, posé 

 dans ces termes, se réduirait alors à chercher des moyens aptes à faire dispa- 

 raître d'une équation un certain nombre de termes par une voie plus pra- 

 tique que celle imaginée par Tschirnhausen. » 



