(4^ ) 



relation symétrique par rapport à lous les points du groupe, et qui 

 exprime aussi que le groupe (2, 3, .,, n) est conjugué à P„_,,, ; le groupe 

 (3, 4, ..., Ti) k P„_2,2; etc. 



» 5. Les n points, ou points-racines d'un groupe conjugué, peuvent être 

 distincts, ou se confondre deux à deux, trois à trois Ils peuvent se ré- 

 duire à deux, dont un point multiple d'entre n — \ ; ou même se confondre 

 en un seul, et dans ce cas le point multiple d'ordre ti est sur la courbe. 

 Il convient d'ailleurs de remarquer que, dans la série ci-dessus des courbes 

 polaires successives, vuie polaire quelconque P„_,,, ne change pas, quelle 

 que soit l'inversion faite parmi les points i, 2, H, ..., i qui ont servi à la 

 déterminer. 



» 6. La définition du groupe conjugué à une surface d'ordre n est toute 

 semblable; et, si nous nommons puissance d'un groupe de n points par rap- 

 port à un plan quelconque le produit II des distances de ce plan aux n 

 points du groupe, nous pouvons renfermer toute la théorie des courbes et 

 des surfaces d'ordre Ji dans cet énoncé unique : 



» Si N — I est le nombre des points dont ta donnée détermine une courbe ou 

 une surface d'ordre N, il existe une même relation identique, linéaire et liomogène, 



(i") x,n, + À,no+ ... + x,^nj,EE^o 



entre les puissances, prises relativement à un plan quelconque, de N groupes 

 d'ordre n conjugués à la courbe ou à la surface. 



» 7. Le même énoncé s'applique aussi aux courbes et aux surfaces de 

 classe 71. Les éléments de chaque groupe conjugué changent seulement de 

 nature: ce sont des droites ou des plans qui remplacent des points, et la 

 puissance de chaque groupe doit être évaluée, non plus relativement à un 

 jjlan quelconque, mais par rapport à un point indéterminé. 



» Le théorème précédent a des conséquences infinies. Si l'Académie le 

 permet, je pourrai en indiquer quelques-unes dans une Note ultérieure, m 



MÉCANIQUE. — Sur un théorème de M. Villarceau; remarques et consé- 

 quences ('). Note de M. Ph. Gilbert, présentée par M. Yvon Villarceau. 



" 4. On peut donner une autre forme assez curieuse au théorème de 

 M. Villarceau. Soient S,/;, Ç les coordonnées, p la distance à l'origine O 

 d'un point quelconque Q pris sur la droite polaire de la trajectoire, au 



(') Comptes rendus, t. LXXXV, p. 1280. 



