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point M. Les équations du mouvement d'un point libre donnent 



mais l'une des équations de la droite polaire est celle-ci : 



(Ç - .x)d^x - [-0 - j) d\y -r- (Ç - z)d'z - ds"- = o, 

 qui, combinée avec la précédente et la relation x- h- y- + 3-= /-, donne 



(4) '-^=^2Vpco,Vp. 



y. Parmi les conséquences de cette équation, j'indiquerai la suivante : 

 Lorsqu'un point libre décrit une courbe sphérique, ou, plus généralement, 

 lorsque te carré de sa distance à un centre fixe varie proportionnellement au 

 temps, la force motrice est, à chaque instant, normale au plan mené par le centre 

 fixe et la droite polaire de la trajectoire. 



» 5. Rétablissons dans l'équation (i) la masse m du mobile et appli- 

 quons cette relation à tous les points d'un système matériel quelconque. 

 Eu désignant par G = 2mr- le moment d'inertie polaire du système par 

 rapport à l'origine, par u la distance de deux masses m et m', par mm'J[u) 

 leur action réciproque, par S une somme qui s'étend à tons les couples de 

 points pris deux à deux; enfin, réservant la lettre P pour les forces exté- 

 rieures au système, on aura le théorème de M. Villarceau pour un système 

 matériel ('), 



(5) Imv- ~- -p^ -j- Smm'uf{u) — l'PrcosVr; 



ou encore, en représentant par II l'énergie potentielle du .système, savoir 

 U{u, u\ ...]— Smni' \J\u)du, 

 Imp- = — 7- -+■ Su- ^P/'CosPr. 



2 dt- du 



Admettons que la fonction II soit homogène de degré A' en ii, u', ... ; qu'il 

 existe une fonction 4» des forces extérieures, et qu'elle soit aussi homogène, 

 de degré k' , en x,j, r, x' , .. ; nous aurons 



7. dl^ ' ' 



(') Coiiiptts reiulini, l. LXXV, p. iZï; 187a. 



