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ANALYSE MATHÉMATIQUE. ~ Sitr les Jonctions (jiil naissent du développement de 

 l'expression (i — 2ajc -h a" a-) ^ . Note de M. Escary. 



« La formule de Lagrange est une forme particulière de la série de 

 Taylor. Elle est employée pour développer une fonction implicite, suivant 

 les puissances ascendantes d'un paramètre arbitraire. En dehors de l'objet 

 particulier en vue duquel elle avait été obtenue par l'illustre autetu-, elle 

 sert, comme on sait, à engendrer, en les mettant sous une forme élégante, 

 des fonctions dont la variable indépendante a un champ de variation 

 limité. Avant que la règle de convergence de cette formule fût connue, les 

 raisonnements employés par les géomètres consistaient à dire qu'on peut 

 toujours prendre le module du paramètre assez petit pour assurer la con- 

 vergence de la série. 



)) L'exactitude de ces raisonnements est évidente, quand il n'y a pas de 

 coefficients de la lettre ordonnatrice qui deviennent infinis. Cette dernière 

 difficulté étant écartée, il est naturel de rapprocher ce dernier genre de 

 raisonnement de la règle connue de convergence, et d'en rechercher la 

 signification géométrique. 



» A cet effet, nous envisagerons la fonction 



( I — 2a.x- -h a- a-) - . 



» Le développement par la formule de Lagrange de la plus petite des 

 racines de l'équation du second degré 



«' — a- 



u^= X -\- a 



2 



donne 



(i) _ ii—2ax-{-a-a^) - =\ ——^ — 



rf" (,r' 



dx" 



» La série du second membre est convergente dans l'intérieur du cercle 

 de rayon égal à rt, tant que l'on a 



mod. a < -• 



a 



Cette condition de convergence, rapprochée de celle relative au dévelop- 

 pement de l'inverse de la dislancc de deux points, montre que le cercle de 

 rayon a est le transformé par rayons vecteurs réciproques de celui dont le 



