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rayon est égal à mod.a, le paramètre de la transformation étant l'unité, 

 c'est-à-dire le rayon du cercle de convergence relatif à x: dans le dévelop- 

 pement du potentiel. Le champ de variation de la variable indépendante x, 

 dans le second membre de l'identité (i), peut donc être étendu autant que 

 l'on veut; mais celui de mod. a devient alors de plus en plus restreint, et 

 la loi de décroissance de ce dernier se trouve exprimée géométriquement, 

 au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques. 



» La différentiation, par yapport à jc, Ifois répétée, des deux membres de 

 l'identité (i), donne sur-le-champ 



(2) (I - -.ao: + «=«•-•)" "^=^X-,^^.«", 



Il =0 ^ 



en posant, pour abréger, 



» Le développement (2) est également convergent, a fortiori^ dans la 

 même étendue du plan. 



w Sous la forme (3), on voit que l'équation 



X"" — M 



a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre — a et ^- a. 



» On trouve aisément qu'une même fonction X'"' ^j^^ satisfait à l'équa- 



tion différentielle linéaire et du second ordre 



(4) [a^ — x^)j" — 2(Z + i)jc)-' ■+- n[n -h 2I -4- i)j>' = o, 



dont l'intégrale générale est 



r=- AX"-'^/^,+ BX"" 



A et B étant deux constantes arbitraires. 



" En appliquant, au moyen de l'équation (4), le raisonnement employé 

 par M. Ilermite à l'égard de la fonction X„ de Legendre [Cours d'Analyse 

 de l'Ecole PolylechnicfuCjX. I, |). 4'i>^)> on trouve que la partie transcen- 



dante de l'intégrale 



/r 



^""ui.T(" 



<{x 



10. 



