( I20 ) 



2-'" — I-'", puis ensuite les développements de o"'"— (— i)"' 

 (— x -h 2)-'" — [— X + i)'"', pour obtenir ce résultat : 



.r-" -+- \.r — I '"" — I 2.m „, > , 7.1)1 {2 m — i ! 2 ;« — ^) cf \ 



2HÎ+I 



2 1 ' ' 1.2.3 



dont le premier membre est votre expression — iX,„. On arrive à une 

 conclusion pareille pour les fonctions X"„-, en développant d'abord les 

 différences (ax - 1)='"-*-' - {zx - 2)="'-^', {2x - 3/'"-^'- (2x - 4)=" 

 32«+i _ 2='""-', puis celles-ci : (— 2 + 1)=""+' — (_ 2)-' 

 (— 7.x 4- 3)-'"^' ~ (— ix -h 2)-'"' ', j'obtiens en effet 



- — ——2 o(^Xja„j-i 2 ^ ûl,'^j2H 



+ S(x)o, 

 et, comme S(x)o a pour valeur x — t, il vient 



I 2 J — 1 1'-'"''"' — (2x^11 2 ;// -f- 1 



'S(x), 



I 



( 2 OT + I ) 2 m ( 2 /72 — I ) 



'S(.r),„ 



-1- 



le premier membre étant le produit de votre expression — .^X", par le fac- 

 teur 20: — i,qui est un diviseur des polynômes S (xk,„, S (xj^,.,.-,, .... 



» Le rapprochement que vous avez fait entre le théorème de Taylor et 

 la formule d'interpolation me semble découler d'une source purement 

 algébrique. En désignant pary(x) un polynôme du degré n — 3, par 

 a, h, c, ... des constantes différentes entre elles au nombre de «, on peut 

 demander des polynômes /,(x), y2(x), ... tels que y(a:) — /, (x) soit 

 divisible par x — a, f{x) —J,{x) ~ f2[x) par [x — aj[x — b), et ainsi 

 de suite. La question est résolue par 1 expression 



-^ \_[a-b][a-c)^ [b-n)[b-c)^[c-a){c-b\\^'^ "A-* "i 

 ) 



qui ne diffère de la formule de Lagrange que par l'arrangement ; et, si l'on 

 veut arriver au cas j)lus général où les valeurs données de la variable x 

 cessent d'être différentes, on peut prendre les quantités a., a + [a^—a), ..., 

 « + (''a \ ~ (i)i b., b + (/», — b\ . . . , b -h- (/>p_, — b), et faire converger 

 vers zéro les dilférences a, - a, . . ., cia^, - a; b, — b, . . ., /;|i_| — b, ... 



