( 273 ,. 

 tloiil la deniièiecst simpleineiU z = 5p. Or, l'erpoloïde étant la trace de cet 

 axe mobile sur le plan langent a l'ellipsoïde central, z = cî, on voit qu'd 

 suflil de faire p =^ i ponr obtenir les coordonnées de celle courbe, expri- 

 mées en fonction du lenipy, ou de la variable w. Nous avons ainsi x- = v, 

 j- = (/; mais ce sont i)lulùt les (pianlilés x -t- i)' et x — ij' ([n'd convient 

 de considérer, et je poserai en conséquence 



. n'ini0,'// — Q>''('"'+'1 



. ll',o',0, ,'« + »>-'("'■'■'+'') ^ , , 



^- - -y - + '" iM.ie» = *' (")' 



ce qui permettra d'employer les condiiions caractéristiques 



$ (« + alv) = |X$ f« ;, 'i' ,// + 2i\\) = — /y.'<I) («), 



où j'ai fait 



l,. = e^^'\ IjJ^c^-'''. 



Elles monirent, en effet, que les produits (p (/<^^>, (ii), Du^{u)D„^,{u),el en 

 général l);"$f?^)D", <!',(?/), quels que soient m et n, sont des fonctions dou- 

 blement périodiques, ajant 2K et 2/K' [)Our périodes. En particulier, 

 nous envisageons l'expression D„<l'(fi)D„'l', (/i) = x'' -i-j'-, puis les coef- 

 ficients de / dans les suivantes : 



D„$(j/) $,(«) = xa:' -i- jy' 4- i[.xr' — j-x'), 

 D•$(«)D„a>,(^0 = x'x"+jy"+ i{x') "-j'x"), 



ces fonctions doublement périodiques donnant, par les formidcs connues, 

 les éléments de l'arc, du secteiu' et le rayon de courbure. J'emploierai, 

 pour les obtenir, la formule de décomposition en éléments simples, 

 rappelée au couimencemeni de ce travail (§ II, p. 694), et dont rap[)li- 

 cation sera facile, $(a) et $,(/<) ayant pour pôle unique « = /K'. N'ayant 



ainsi à considérer qu'un seul élément simple, ^^> il suffît d'avoir les 



développements suivant les puissances croissantes de £ de $(/K'+£) et 

 $,(/R'+ c); ils s'obtiennent comme on va voir. 



M Je remarque d'abord que, au moyen de la fonction cf,{x, w), définie 

 au § VI, p. 824, on peut écrire 



/ Ctt I oit 



