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proviennent de liaisons possibles d'autre nature, l'origine des coordonnées 

 étant d'ailleurs au centre commun des surfaces sphériques, le théorème 

 de M. Villarceau prend la forme 



2mp= = — R2P-R'2P' — R"2P" - ... _3(X.z--hY7 + Zz). 



S'il existe donc une fonction des forces ne contenant pas le temps explici- 

 tement, et si les forces passives provenant de liaisons d'autre nature n'existent 

 pas, ou si simplement s'annule la portion du terme 1 [Xx -^ Y y + Zz) 

 relative à ces forces, la somme 



Ri: Pi- R' 2 P' -)- K" :i P" + ... 



dépendra seulement des coordonnées des points. 



» Ce cas aura donc lieu si les points se meuvent sous l'action unique de 

 forces attractives ou répulsives. Le cas plus simple possible est celui du 

 pendule. 



» 2. Considérons un système de points qui se meuvent sous la simple 

 action de forces mutuelles attractives, sans autres liaisons que ces mêmes 

 attractions mutuelles, et la fonction V des forces qui existe d'après l'hy- 

 pothèse qu'elle soit une fonction homogène du n"^'"'' degré. 



» En référant les points du système à des axes parallèles aux premiers, 

 menés par le centre de gravité du système, en désignant par W la force 

 vive du système par rapport aux axes nouveaux, ou la force vive relative, 

 par w le rayon vecteur du point {x, y, z) tiré du centre de gravité qui se 

 meut uniformément, le théorème de M. Villarceau se transforme aisément 

 dans l'équation 



- — 2 m co- = W + ri V. 



2 /W 



» Or, si le système est supposé stationnaire, et si la loi d'attraction est la 

 newtonienne [n = — i ), la somme Imcù" prenant successivement des 

 valeurs maxima et niinima, la différence W — V entre la force vive relative 

 et le potentiel change de signe chaque fois en, vertu de l'équation précé- 

 dente. 



» Donc le théorème dont il s'agit contient aussi cette conséquence que, 

 dans un système stationnaire de points en mouvement sous l'action de 

 l'attraction newtonienne, tel que le système solaire, la force vive relative 

 oscille continuellement autour de la valeur du potentiel ; ce qui a été dé- 

 montré autrement par Jacobi ('). « 



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