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 du nombre premier q, suivant que ce dernier nombre est kii-même résidu ou 

 non-résidu quadratique de p = a^ -h b' . 



» On sait que le nombre 2" — i ne peut êlre un nombre premier qu'au- 

 tant que l'exposant n est lui-même premier. Soit 71 premier et proposons- 

 nous de reconnaîiro si le nombre (7 = 2" — 1 est premier ou composé. 

 Nous prendrons pour cela un nombre premier p r= a- -i- b^ dont le 

 nombre q soit non-résidu quadratique. Par exemple, si « = 4^ + 3, nous 

 prendrons le nombre 5, qui satisfait à cette condition. Si le nombre q est 



premier, on conclut du théorème précédent que le rapport -— = est 



a -h l>\j — 1 



non-résidu quadratique de q, c'est-à-dire qu'il vérifie la congruence (2). 



» Réciproquement, si la congruence (2) est vérifiée, le nombre q est 

 premier. En effet, s'il n'est pas premier, il admet un diviseur premier 

 Q= 4/ + 3, et le rapport complexe considéré vérifie la congruence 



(3) ( "-'/'^Y ^. (mod.Q). 



» D'ailleurs on conclut de la formule (2), en l'élevant au carré, que ce 

 même rapport est racine de la congruence a:'"^' ^ i (mod. Q). Il vérifie 

 donc la formule 



(4, (^elv^)'- (-'•«. 



2" désignant le plus grand diviseur commun des deux nombres Q -t- i et 

 2" = <7 4- I . Si a est inférieur à n, on trouvera un nombre entier p, positif 

 ou mil, vérifiant la condition a -h ^ = n — i. Puis, en élevant les deux 

 membres de la formule (4) à la puissance 2^ on obtiendra 



fa-^y"-'^^ (-od.Q). 



» D'ailleurs, Q étant diviseur de^, on déduit de la formule (2) 



» Ces deux résultais étant incompatibles, nous concluons que notre 

 hypothèse est inadmissible, a n'est pas inférieur à n. Le nombre Q 4- i 

 est donc multiple de 2", et, comme le nombre Q est diviseur de 2" — i = 17, 

 il faut nécessairement admettre que le nombre premier Q = 2" — i ^- q. 



