( '^'4 ) 

 » C'est ail moyen de ce résultat que je parviens à intégrer l'équation de 



Lamé, en prenant p = - ^-7— i' ? ~ H î' ^'^^"'•tion (2) devenant ainsi 



(3) C- + y(a:)(2FF"- F-) + cp'{x)FF'+ /i^{x)Y- = o. 



Mais supposons d'abord (p(x) = x-{i ~- x), je trouve que, F {x) étant 

 représenté par x" -+- ax"~' -1- . . . , ou a 



Or l'équation différentielle est, dans ce cas, 



I T — ■y.r «= 



c'est-à-dire l'équation de Gauss 



r + s — y — r— — \ ï = o, 



avec a = -1 [i = — - ? y = -» et 1 on est amené a cette conséquence connue, 



que les intégrales jTo J'2 sont des fonctions algébriques de la variable. 



» Soit, en second lieu, o{ x) = x[i — ^) (f — k'x), les coefficients des 

 termes en x^""^' et j:-", dans l'équation (3), montrent qu'on a alors 



en posant // = — (2 n -+- i)ak- — 7i-[i + A-), ce qui nous conduit à l'équa- 

 tion de Lamé. 



)i Mais on peut aller plus' loin et obtenir l'intégration d'une équation 

 plus générale, comprenant celle de Lamé comme cas particulier. Je sup- 

 pose m = 4 dans l'équation (i), et je prends /(j',,;':;) = ;>'^ 7"^ , nous 

 aurons ainsi 



/|C=F + (p(x)(/|FF"- 3F'-) + i<f'[x)FF"+ i6>|^(.r)F- = o. 



Cela étant et faisant encore o[x) = x[i — x)[i — k'-x), on obtient l'ex- 

 pression suivante : 



^{x) = - -,^ [n{n + 2)K-.x -i- h\, 



où j'ai posé A = — 2(« — \)ak- — /r(i -\- k"). Voici, en conséquence, à 

 l'égard de l'équation différentielle 



d'3 



_Z. = _[-„(„+2)A-sn^7-t-/iJ7, 



