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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d'une fonction suivant 

 les puissances d\in polynôme . Note de M. Lagcerre. 



(1 1. Étant donné un polynôme F(r) de degré m, on peut développer 

 une fonction quelconque de z suivant les puissances croissantes de ce po- 

 lynôme, les coefficients étant des polynômes en z du degré [m — i), et Ja- 

 cobi a donné (') le moyen d'obtenir ces coefficients. 



M Cette sorte de développement a une importance particulière lorsqu'il 

 s'agit d'évaluer des intégrales définies de la forme Jf{xz)Y{z)dz et de la 

 forme [/[z — x)¥ (z)dz, les limites de l'intégrale étant deux racines d.* 

 l'équation F(r) = o. 



)) En m'occupant, à ce point de vue, du développement de e^', de 

 (z — jc)"' et de log'z — x), j'ai été assez heureux pour rencontrer quelques- 

 uns des résultats importants donnés récemment par M. Hermite, relative- 

 ment à l'approximation des fonctions transcendantes par des fonctions 

 rationnelles, notamment dans sa Lettre à M. Fuchs Sur quelques équations 

 dijféreiitielles, et dans son mémorable Mémoire Sur la fonction exponentielle. 



» 2. En m'en tenant ici à ce qui concerne la fonction exponentielle, 

 soit 



(i) fi" =r i(U„ + =V„+ . . . 4- :■"-' W„) i^Ç;^: 



en désignant par a, b, . . . , l les diverses racines de l'équation F(z^ = o, 

 on voit facilement que W„ est de la forme 



M, e"'- + Mo e*-^ + . . . + M„, e'^, 



M,, Mo. . . . , M,„ étant des polynômes en x du degré n. 



» D'ailleurs la méthode de Jacobi montre que \V„ est de l'ordre de 

 ^mii+ii-1 . ;| pj^ résulte que les polynômes M,, M„, . .., M,„ ont précisément 

 les valeurs pour lesquelles l'expression précédente est de l'ordre le plus 

 élevé possible; chacun de ces polynômes, renfermant en effet [m -+- i) con- 

 stantes arbitraires, les {m -+- \]n constantes dont on dispose ne permettent 

 d'annuler dans cette expression que les coefficients de j:", .r', jt", ..., 



» Ce point établi, en égalant les dérivées prises par rapport à z des deux 



(') E ntn'ick clnngcii nacJi dci Polcnzcn cincs l'oly/wins \ Journal de Borchardt, t. 53, 

 p. lo51. 



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