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 membres de l'équation (r), on obtiendra facilement les relations qui per- 

 mettent d'obtenir par voie récurrente les diverses fonctions W„. 



» En égalant de même les dérivées prises par rapport à x, on obtientlra 

 l'équation différentielle suivanlc, à laquelle satisfait la fonction W„, et où 



j'ai posé 



Y{x) — X'" -+ A.x"'-' -+-... -t- Kx -t- L, 



\f/x"' il.i'"-' dx ^ 



d^-'y 



n m 



^4_(,„_ ,)A— -:-^ + ... + K;- =^o 



dx'"-' '- '' d. 



T/inlégrale générale de cette équation est évidemment C,, Co. .. , C,„ dési- 

 gnant des constantes arbitraires, 



C, M, e"-'^ -f- C2 Mo e*' -^ . . . -+- C,„ M,„ c'' . 



Cette équation, du reste, peut s'intégrer directement. Il suffit, en effet, 

 d'intégrer l'équation adjointe de Lagrange 



^m d"'~^ d'" — " 



-—,xu ,——, (A.r — /im)u -h ÏBx — n(in — i) Al « I- . . . — o, 



du.'" dx"-' ^ ' dj/" ■ L *■ / J ' » 



ou, en développant, 



dx'" ' I 



{n -h i)| m--_, - {m -- i) A^^~^, - . . . h- K«J =• o. 



(d'il 

 \ dx'" 



et la méthode de Laplace donne immédiatement les m intégrales de celte 

 équation 



J (i J h J l 



On se trouve ainsi ramené à la considération des intégrales définies qui 

 ont servi de point de départ à M. llermile dans son IMémoire Sur lu fonc- 

 tion exponentielle. 



>i 3. Poiu- considérer le cas le i)lus simple, soient — 



F(z.) = z{z - i) et c---'-rr- v(u„+ zV„)^~p 



