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 où j'ai fait, pour abréger, 



A = 



■32?) > 



ft" 



Çi>3î 



?2'î| 



.. =2 Ça 



■•î. >;2 "':.■) 



>• V* >• 



bl S2 S3 



C'est à l'élément de l'arc que je m'arrêterai un moment, afin de tirer 

 quelques conséquences de la forme analytique remarquable que présenté 

 la quantité ç'] -r /jj -^ 'Ç\. Nous avons, en effet, la relation 



?S, -H YJÏJ, 4- ÇÇ, = O, 



qui donne facilement 



et, par suite, cette décomposition en facteurs imaginaires conjugués, où 

 j'écris, pour abréger, |5- = ^- -i- ïj- + Ç-, 



Or les valeurs de n", b'\ c", à savoir : 



a" — — i/'- — ~cnu, h"—\l' — t-s»«) ^" •= v/ "dn//, 



Vy — a Vv — p V? — "■ 



conduisent à l'expression suivante : 



7 



SÇi 



iÇ, + /pvî, = a \/^-ir-^ (ç'*^ -i- 'pÇ) en « 



sn ;< 



y fZTa (■''?■- '>^)fln«> 



et nous allons facilement en déduire les valeurs particulières des coordon- 

 nées ^, vj, Ç, pour lesquelles l'arc de la courbe sphérique, au lieu de dé- 

 pendre d'une transcendante compliquée, s'obtient sous forme finie cx|)licite. 

 Je me fonderai, à cet effet, sur cette remarque que le produit des deux 

 fonctions linéaires 



n(z/) = (A Qv\u -l- B swu -\' Cdnw) (A' cwu -\- B' snw -)- C dnr^) 



devient le carré d'une fonction uniforme si l'on a 



S.'^r- + B- - Q?h:' = o, A'^/t'- -1- B'- - C'-A'* = o. 



