( 42/i ) 



A cet effet, j'observe que les formules 



sn 2u = 



cnau 



dn 



211 



1 — X'iii'a 



permettent d'écrire 



A cil au -h B snaw + C dn2« 



_ A + C— 2(A-f-C*»)sn'«-+- (A + C)*»si;'« + aBsnu m «dnu 



I — A'' sn' Il 



Cela étant, soif, en désignant par g et 7^ deux constantes, 



A + C - 2(A + CA*)sn=M + (A H-C)A^sn*K 



+ aB sn;< cii?^ dnu = (g suu -+■ h cnudnu)-, 



on verra que les quatre équations résultant de l'identificalion se réduisent 

 aux trois suivantes : 



A-+-C = //% 2(A + CA-=) = A-(i + A=) -g-, B = gh; 



or l'élimination de g et h conduit immédiatement à la condition 



Ak'- + B- - CH" = o. 



Soit de même ensuite 



., n' /-/ 1 [g' sn u -i- /i' en II dnu]' 

 A. cn2u ~h B sn 2 u ^ C d n 2 m == — > 



I — f:' sn' Il 



sous la condition semblable 



A'A'= + B'= -en'- = o; 



nous en conclurons, pour y/ll(2«), l'expression suivante : 



771 ; ( ff sn « -i- h en II dn u) le'snu + h'cnudnu) 



\Jtli2u) = jr—, -• » 



ou, en développant, 



,— r gg' sn'u H- AA'[i — (i 4- *')sn'j/ 4- A'sn*«] -H (g'A'+ /ig") snucnwdno 



' ^ ' I — /' su' Il 



on en déduit ensuite facilement, si l'on change u en -i 



2v'11(m) = ;j7-,&g'(<^'"" — cu") I- (g^i'-H /'g')sn« + M'(dnM + cn«). 

 Voici maintenant ra|)plication de la remarque (]Uo nous venons d'établir. 



