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» Je me bornerai à l'exposition et à la généralisation de cette dernière. 

 Voici le théorème comme on le trouve dans le travail de M. Clebsch : Soient 

 Q un quantic binaire quelconque du degré /,y un invariant ou covariant 

 quelconque de Q. En choisissant convenablement le chiffre p., Q^f^era. 

 une fonction entière et rationnelle de /invariants et covariants, constants et 

 connus de Q, dont le premier sera Q et les autres, successivement de l'ordre 

 2 et 3 dans les coefficients de Q. Si l'on examine de près ce théorème avec 

 l'aide de la conception et des propriétés des différentiants, voici à quoi il 

 équivaut : Prenons la forme x' -+- px'~' -f- qx'~- + . . . -l- /. 



)) On sait bien qu'une fonction symétrique quelconque de ses racines sera 

 une fonction rationnelle et entière des i coefficients donnés. Mais, si l'on se 

 borne à une fonction symétrique des f////erences des racines, on peut ajouter 

 (et voilà en quoi consiste essentiellement ce théorème de M. Clebsch ou 

 de M. Gordan) qu'elle sera ime fonction rationnelle et entière de / — i fonc- 

 tions alternativement de l'ordre 2 et de l'ordre 3 des coefficients, dont cha- 

 cune sera elle-même une fonction des différences des racines. 



» C'est par une analyse assez compliquée que MM. Clebsch et Gordan 

 établissent leur théorème. Je le déduis par un calcul tout à fait élémentaire 

 et presque instantané en me servant seulement de l'équation partielle 

 différentielle qui sert à définir les invariants et les différentiants et avec ce 

 grand avantage que, avec son aide, je passe immédiatement à l'extension 

 du théorème au cas de système de quanlics. Voici en effet le résultat 

 auquel j'arrive avec cette méthode. 



» Soit Qi, Qo, Q3, ..., Q) un système de quantics binaires. Prenons 

 (X — i)jacobiens indépendants quelconques des Q combinés en paires qu'on 

 peut nommer J,, Jo, . . . , J),_i et de plus prenons les a formes associées dans 

 leur forme Is plus simple qui appartiennent à Q, , Q.,, . . . , Q^ prises sépa- 

 rément. Alors, je dis que, / étant un invariant ou covariant quelconque 

 du système des Q, on aura, en choisissant convenablement les chiffres u.,, 

 f/.2, . . ., |X), Q'/, Q^j', . . ., Qï\ une fonction rationnelle etenlière des formes 

 associées propres à Q,, Qo, . . ., Q) et des quantités J,, Jo, . . ., Jx_,. 



» J'ajouterai encore un théorème que je crois être nouveau et qui se 

 déduit immédiatement de ce dernier. 



» Soient rt,, ^,, . . . ; a,, Z»,, . . . ; rt),i> les deux premiers coefficients de Q,, 

 Qo, .. ., Q), et prenons la forme linéaire a^x -h h/, y {k étant choisi arbi- 

 trairement), que je nommerai «.Soit un invariant ou un covariant quelconque 

 du système exprimé comme fonction de «et dej, alors tous les coefficients 

 de F seront des différentiants en x, ce que M. Cayley nomme des semi- 



C. R., 1878, I" Semettre. (T, LXXXM, N» 7.) 5ç) 



