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symétrique formé par les lettres a,j; posons t ^, = Ay ; cnBn, z étant une 



fonction quelconque des n variables données x,, désignons par les lettres 



1 ■ • ' 11 *■'■ 



Pi, ses // dérivées partielles -. — 



» Quelles cpie soient les nouvelles variables x\ , désignons par A', A'„, 

 p\ les quantités analogues à A, A,y, /?, relatives à la forme (i'). 



» Il résulte des propriétés élémentaires des formes quadratiques que 

 l'équation à dérivées partielles du premier ordre 



(a) ^A,y/?,/jy - H = const., 



•i 

 par la substitution de nouvelles variables quelconques a\ à celles Xj, se 

 transforme en la suivante : 



(2') ^a;,/,;/.; = h. 



» Nous l'appellerons Y équation corrélative de la forme donnée. 



« Cela étant, nous allons démontrer le théorème suivant : 



» Thiîorème. ~ Pour (juiiiie forme quadratique des différentielles de n 

 variables indépendantes, dont les coefficients sont des foticlions de ces variables, 

 puisse être transformée de façon que les nouveaux cotfficicnts ne renferment plus 

 quen — k variables, il Jaut et il suffit que, parmi les s/stèmes en nombre infini 

 de n — i équations qu'il est possible d'adjoindre à l'équation à dérivées par- 

 tielles corrélative de celte jorme, pour C intégrer par la méthode de Jacobi, il 

 s'en trouve un comprenant k équations linéaires. 



n Pour démontrer cette proposition, je m'appuierai sur ce lemme qui 

 n'a peut-être pas encore été démontré, mais qui est vrai et que je suppo- 

 serai établi : éljiit données deux fonctions Fétide n variables indépen- 

 dantes a-, et des « dérivées partielles/^,, le crochet (F, y) est un invariant 

 absolu. 



n Cela admis, je dis d'abord que la condition indiquée est nécessaire. 

 En effet, supposons qu'on ait pu changer la forme (i) en une autre ( i') 

 dont les coefficients ne coiUieimenl j)lus que /« —k des variables x„ par 

 exemple, celles x) dont l'indice est supérieur à /, tandis qu'ils sont indé- 

 |)endants de celles x'^ dont l'indice est égal ou inférieur à k. Les coefficients 

 A',, de l'équalion à dérivées partielles (2') jouiront de la même propriété. 

 Si donc on écrit les A" équations 



(3') //, — (', = const.(j — I . :^.3 . . ./•), 



on aura identiquement (II, C,) = o, (C,, C/, = o. 



