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 M Revenons maintenant aux variables données .r,; l'équation (2') se 

 changera en celle (2); les équations linéaires (3') resteront linéaires de la 

 forme 



(3) 2P'^==C,(..=^i.2.3.../t), 



et comme, en vertu du lemmc invoqué, les crochets (II, Q) et (C,, Cy) ne 

 sont pas modifiés par ce changement de variables, ils seront encore iden- 

 tiquement nuls pour les équations (2) et (3). 



» Je dis maintenant que réciproquement, si les quantités (H, Q) et 

 (C^, C/) sont identiquement nulles pour l'équation (2) et un système de 

 k équations linéaires (3), la forme (i) pourra, par un changement conve- 

 nable des variables, être transformée en une autre (i')dontles coefficients ne 

 contiendront plus que ti — k variables. 



» En effet, puisque, par hypothèse, les quantités (Q, C/) sont iden- 

 tiquement nulles, le système des A- équations (3) admet une solution com- 

 mune avec II — k constantes arbitraires, et cela quelles que soient les con- 

 stantes C,.Soitz = jc] [s :rrz I. 2. 3. .. ./.:) unc solutiou particulière comnuine 

 à ces équations répondant à la valeur i de la constante C, et à des valeurs 

 nulles des A- — i constantes C/ d'indices s' différents de s. 11 est clair que 



z — \ C^x'. sera une solution particulière commune, quelles que soient 



lis constantes Q, et la solution commune générale s'obtiendra en ajoutant 

 à cette solution particulière la solution générale des équations (3) privées 

 de leurs seconds membres. 



» Ces équations, privées de leurs seconds membres, forment un système 

 jacobien, admettant u ~ k solutions communes distinctes. Soient jr'x^,, 

 a''yi+,, . • • , x'„ ces solutions; la solution générale sera une fonction arbitraire 

 (f de ces quantités, en sorte que la solution commune générale des équa- 

 tions (3) avec leurs seconds membres .sera 



-< = I 



Prenons les n quantités x\ qi.-i entrent dans cette équation pour nou- 

 velles variables à la place des variables x, ; la forme ( i) se changera en une 

 forme (i'); l'équation (2) en celle (2'); quant aux k équations (3), il est 

 aisé de voir qu'elles se changeront simplement en les équations (3'). 

 Or, les crochets (H, Cj) des équations (2) et (3) étant, par hypothèse, iden- 



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