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pose, en outre, 



àx =: I, Aj? — h, 2/"(jr) = F{x); 

 d'où 



et, par suite, 



AaF(x -+- aA) = F(a' +- ah + h) — F(j: + a/() =/(j^ -+- cch), 



ce qui donne 



F(x + ah) = 2a/ (x + och) -+- X, 



X étant une fonction de x seulement. Ainsi les coefficients de a dans 

 laf{x-V-ah) et F(a7 4- aZf) auront pour valeur commune hY'{x). D'ail- 

 leurs, on vérifie aisément que, si l'on nomme B„, B,, B^, B^, ... les coef- 

 ficients de a dans les valeurs des intégrales 2«, :ia% 2a% . . ., Bq sera » 



B,, Bj, Bj, ... seront les nombres de BernouUi, et B^, B^, B^, ... seront 

 tous égaux à zéro. On en conclut 



hn^) =J{x) + B„ '{f'{x) + B, -^/"(.r) + B3 -^^^f"{x) + . . . 

 où R„ désigne le coefficient de a dans l'intégrale 



et de là se tire la formule de Maclaurin en remplaçant/ (x) par ff{x)dxet 

 F'(x) par F(x) ou 2/(x). On obtient la forme dont a fait usage M. Mal- 

 msten en prenant la différence finie de chaque terme de l'équation précé- 

 dente par rapport à x. Alors les deux derniers termes deviennent 



et se réduisent sans peine au coefficient de a dans l'expression 



» Ainsi la fonction <j>[h — z) de M. Malmsten sera le coefficient de a 



( ni /j 1 If -^1 C/." /t" 



dans l'intégrale 1„- > et oiz) sera le coefficient de a dans 



" 1.2. ..« ^ ^ ' 



^ (a/i + z)"— «V«» 



2„ '- > en supposant n — itn. 



"■ 1.2...» '^' 



