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 » Soil Z„ le coefficient de v. dans :L^ '" ' "*" - -, pour c = o et z = A, on a 



Z„ = 



1.2. 



. n 



pour 2 =-/<, Z,, sera le coefficient de a dans ' (-) i;i2a+ i)", ou 



■ 2 I . 2 ■ . . « \ 2 / 



dans ^ J (^)" [2:i5(" - .^{2 a)"], et partant 



_ f2"— 2)B„_, A" 



^H "~~ ~~ ,. * 



l . 2 . . . « . 2 ' 



On a de plus 



d7,„ „ 



Ih — '^"+" 



et joignant à cela les relations 9(2^ = Z.,„ ^^^^ » -^ Zo,„+i, on déduit 



facilement du ihéorème de Fourier les propriétés de 133(2), découvertes par 

 M. Malmslen. 



» Dans la même Noie de 1855, j'indiquais un procédé analogue pour 

 établir les autres Jnaloijics des différences cl des inlégrales avec les puissances. 



M Pour les formules d'mterpolalion, j'ai aussi employé des intégrales 

 multiples semblables à celles dont vous avez fait usage. Dans les Archives 

 de Giuncrl, t. XLIX, 3*^ cabier, j'ai donné la formide 



A7(:r) ^ ^ ■ 



Ju «'o Jo 



où //, A,, . . ., /?„_! sont les accroissements successifs, égaux ou inégaux, de 

 la variable x, et j'ai montré comment on pouvait en déduire une expres- 

 sion du reste de la formule particulière d iulerpolation due à Newton. J'ai 

 depuis coulinué ces recberches et j'ai exprimé par les intégrales nuiltiples 

 les fondions inlcri>olaires, introduites par Ampère et étudiées par Cauchy, 



à savoir les fonctions/(rt, b) — _^ di'h ^> f) = -^-^^^ ^ > •••• 

 J'ai trouvé 



J[a, b) -.^ I /'[a -h b — a)t]dt, 



J o 



J{n, b, c) = f (" 'J"[^ -+■ {^' - ^)' + {P — b)tii\dtdu, ... ; 



«.'0 «/ o 



en général, si l'on a n quintités rt,, rt^, . . ., a„ et qu'on pose a, — r?, = /i,, 



