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 où L, M, N sont des fonctions homogènes de jt, y, z, que nous suppose- 

 rons algébriques ot de degré m. Si l'on cherche le facteur a, qui, n)ulti- 

 pliant le [)reiiiier membre de réquaiiou (i), rend celui-ci une diftéreniielle 

 exacte d'une fonction homogène de degré zéro, on trouvera que ce fac- 

 teur fi, nécessairement homogène et de degré — m — 2, doit satisfaire à 

 l'équation linéaire 



3) I.r^ -4- M.!^-f-]Nr^ -f- p. U- + Y--+-T- = ^'• 



^ ' ^x or cz r \ jj. ^j ^~ j 



Or on saura intégrer cette équation toutes les fois que l'on pourra ol)tenir 

 les intégrales du système suivant : 



(3) ? = ^T = î = ^^ 



^ ■' L M K ' 



où l'on a introduit la variable auxiliaire t; et de là résulte le théorème 

 suivant : 



11 L'intégration de l'équation proposée et celle du sj^stème (3) constituent 

 deux problèmes équivalents ; la solulioii de l'un entraîne celle de l'autre. 



« Cela posé, supposons que l'on se propose de trouver une équation 

 algébrique 



(4) ?(J^,J, z) = o, 



qui constitue une solution particulière de l'équation (1). On verra facile- 

 ment que l'on doit avoir 



I/^ + m'-Î-^N'^^ = o. 



Mais cette équation ne doit pas nécessairement être satisfaite d'une manière 

 identique; il suffit qu'elle ail lieu en vertu de l'équation (/|). On doit donc 

 avoir identiquement 



(5) 4'+'«>7--"''s = ''''- 



où K est un polynôme algébrique d'ordre m — \. En écrivant que les deux 

 membres de l'cqualion précédente sont égaux terme pour terme, on aura 

 les équations qui expriment que o est une solution particulière de l'équa- 

 tion di(Tprenliclle proposée. 



n Supposons que l'on ait obtenu plusieurs solutions particulières fi, , 

 »j, . . ., //^ de degrés X,, X^. . . . , l,,. Désignons, pour abréger, par A l'opé- 



