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UEU\IEU£ onuuK. 



CoefficicnU 



Arguiiu'iil. du si mis. 



— 2/"-h4/'— /-Ho'— 2ra -+■ 2,17 



— 2/"-|-4/'— /-4-ni"— 20 - o,85 



— 3/"h-ii/ — 3/— 2n — oo' — 0,91 



— 3/"-4-ii/'— 3/— 3(3— ■-'.□' 4-0,93 



— 4/"-+-5/'— /+ d'- CT 4- i,i5 



— 4/"-(-5/'— / + o"— n - 2,3G 



— 6/"-i-9/'— 2/- r, - o,56 



— 7/"h-6/' — l ~- 2u"-r- n'— a -:- o,5o 



ANALYSE MATIlÉMATlQUl'. — De remploi des solutions particulières d'une 

 é(piation dijjérentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche 

 de iintéijride cjcnvrale. Note de INI. G. Darboux. 



« Dans ma dernière Comniunicalion, j'ai établi deux propositions géné- 

 rales relatives à l'équation différentielle 



(i) L{rdz — zdy) + M(z^x — xdz) -f- IH [x d)- — j dx) = o. 



Je vais appliquer cis propositions au cas où les polynômes L, M, N sont du 

 second degré. Dans ce cas, l'équation a sept points singuliers (points pour 

 lesquels la direction de la tangente est indéterminée). Je remarque que six 

 de CCS points ne hont jamais sur une conique indécomposable, que quatre 

 ne sont jamais en ligne droite; mais trois d'entre eux peuvent élre en ligne 

 droite, et alors l'équation admet comme solution ])arlicnliére la droite qui 

 les réunit. En rejetant cette droite à l'infini, on obtient l'équation 



(2) f{x,f)dx+J,{x,f)dy = o, 



ou J et /, s'ont les polynômes les plus généraux non liomogènes du second 

 degré, et qui a été l'objet d'un assez grand nombre de recherches. Les 

 propositions suivantes ajouteront à ce que l'on sait sur cette équation. 



» Nous avons trouvé les équations aux dérivées partielles auxquelles 

 doivent satisfaire soit le nuilliplicateur, soit les solutions particulières de 

 l'cqualion proposée. Leur l'orme permet d'établir facilement que, si le nuil- 

 tiplicaleur est un produit de facteurs à exposant positif ou négatif, chacun 



