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 insérée dans le dernier numéro des Comptes rendus, donnant une certaine 

 actualité à ce genre de recherches, je crois devoir soumettre à l'Académie 

 en quelques lignes les principales conclusions de mon travail, qui, bien 

 qu'obtenuespar une voie différente, ont quelques points communs avecles 

 résultais trouvés 'par M. Darboux. 



» Prenons l'équation différentielle du premier ordre et du premier degré 



en ^> sous la forme 



eu: 



(i) L{jcdj —jdx) — Mdr+ '^cix — o, 



L, M et N désignant des polynômes de degré v en x et j, dont le premier, 

 sans nuire à la généralité, peut être supposé réduit à ses termes du plus 

 haut degré. Cette équation s'interprète géométriquement d'une manière 

 simple : c'est l'équation différentielle la plus générale des systèmes de 

 courbes planes, telles que, par un point quelconque du plan, il passe une de 

 ces courbes et une seule, et qu'une droite quelconque du plan ait avec elles 

 V points de contact. On peut, pour abréger le langage, appeler un pareil 

 système un faisceau ponctuel ou plus simplement un faisceau de courbes, en 

 généralisant une dénomination usitée dans la théorie des courbes algé- 

 briques. Le théorème suivant est fondamental : 



» Théorème. — Dans le plan d'un faisceau ponctuel de courbes rie caracté- 

 ristique v. il existe v" -t- v -H i points déterminés, qui sotit en cjéne'ral des points 

 asymptotiques communs à toutes les courbes du faisceau. Exceptionnellement, ces 

 points peuvent devenir des points de croisement de toutes tes courbes du faisceau : 

 ils comprennent tes points sincjuliers de ces courbes, quand il en existe. 



)' J appellerai ces points points fondamentaux du faisceau. Leurs coor- 

 données sont les systèmes de valeurs de .r et / qui rendent indéterminée 



l'expression de ^^, c'est-à-dire qui vérifient à la fois les deux équations 



(2) Lx-M = o, Lj-N = o('). 



» Le nombre des coefficients indépendants de l'équation (i)est, comme 

 ou le voit aisément, égal à v- -t- 4v h- 2 : tel est le nombre des conditions 

 distinctes, nécessaires et suffisantes, pour déterminer un faisceau de courbes 

 de caractéristique v. D'autre part, de ce que les v^ -f- v + i points fonda- 



(') Dans lo cns particulier de l'étiiiation de .Tacolii, nous avons déjà déterminé les trois 

 points fondamentaux, et étai)li qiie ces points sont des points asymptotiques [loc. cit.) 



