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nienfatix sont à l'inlerseclion des courbes (2), il résulte qu'en gi'néral ces 

 v" + V 4- I points ne peuvent pns tous être pris arbitrairement. A cet égard, 

 il y a lieu de distinguer les trois cas suivants : 



» 1° v = i. — Il existe trois points fondamentaux indépendants qui ne 

 suffisent pas pour déterminer complètement le faisceau : on achève de le 

 déterminer, en donnant la valeur d'un certain rapport anharmonique ('). 



» 2° V = 2. — Il existe sept points fondamentaux indépendants, qui 

 déterminent complètement le faisceau. 



» 3° v^3. — Le faisceau est complètement déterminé, lorsqu'on connaît 



— — 5J — I points fondamentaux, liés entre eux par v conditions, dans 



le détail desquelles il est inutile d'entrer en ce moment. 



» On voit, d'après cette discussion, qu'en exceptant le cas ou v = i, les 

 points fondamentaux suffisent toujours, et même surabondamment si vi a, pour 

 déterminer complètement le faisceau des courbes intéc/rales. H est aisé de cot^- 

 cevoir, d'après cela, comment les conditions d'intcqrahilité des équations diffé- 

 rentielles de la forme [i) pourront se définir complètement par les relations de 

 position des points fondamentaux, envisagées au point de vue projectif. 



»' Application au cas oie v = 2. — L'équation différentielle (i), dans le 

 cas où V = 2, n'a pas été intégrée jusqu'ici d'une manière générale. On 

 peut l'intégrer compl'^tcnient dans deux cas assez étendus, qui exigent 

 seulement chacun quatre relations entre les quatorze paramètres de l'équa- 

 tion générale. L'intégrale a alors l'une des deux formes suivantes : 



(3) u\ ('■, \^•\ t\ = C, u\v\ w\ = C, 



dans lesquelles 11,, i',, u',, /, désignent des fonctions linéaires, m, u!i poly- 

 nôme du deuxième degré en jc et j-, et «, fi, 7. étant des nombres satis- 

 faisant, dans les deux cas, respectivement avix conditions 



a -h ^ -h y -T- = o, a + J3 -f- 7 = o. 



M. Darbonx a obtenu ces mêmes résultats par une méthode diffi rente de 

 la nôtre, et a indiqué en outre un troisième cas d'intégrHbilité. 



» Voici maintenant quelle doit être la disposition relative des sept points 

 fondamentaux du faisceau v = 2, pour que l'éqtiation (2) puisse s'intégrer 

 sous l'une des deux formes (3). 



» Premier cas. — Six des sept points fondamentaux doivent être les six 



(') fo;> les deux Notes déjà rappelées. 



