( Sgi ) 

 » Je remarque que les équations précédentes expriment que les termes 



en z, z-, . . , z-"^' disparaissent dans le produit du polynôme entier 



I + H,z-+-H,;=-h... + H2„_,s=«-' 

 et de la série 



il en résulte que le polynôme entier est donné par l'ensemble des termes 

 du développement de » dont le degré est inférieur à zn. Comme on a 



— — I — -z-t-j— rZ — rr^ " -i- •■■-+- [ — I) /—tZ — ..., 



e'— i 1 [i] (4) ^ ' (2) 



les H d'indice impair sont nuls à l'exception de H, = » etl'onadeplus 



^ ' (2/-) 



Je considère maintenant le polynôme entier qui figure dans l'expression 

 de F(x, h). 



)) Il résulte des équations de condition que, pour les deux valeurs de zéro 

 et h de z. le polynôme se réduit à zéro, la première dérivée se réduit aussi à 

 zéro, la deuxième à no„_2/«-"~-, la troisième à zéro, etc. Comme consé- 

 quence, les dérivées d'ordre impair sont nulles pour - = 7' c'est-à-dire 

 qu'on a les conditions 



1 _- II H, I H, I -- II H, I 



o = - -I- H, = ,.,, -- + r-, - -!- — - + H, = p - -1- 77-, ^ +. . ; 



2 ' (•5] 2^ (2) ?.' 12 '5 2' (4) 2* 



on observe, de plus, qu'un terme de la suite (sauf un facteur) 



se déduit du |)récédcnt par la double opération I dz I ^^//i, après qu'on 



a multiplié le premier par }r\ le second par /^~'"', 



» J.a dérivée du polynôme entier qui figure dans b\.T, Ii) conserve donc 



un signe constant dans l'intervalle compris entre zéro et -■, et, comme le 



|)olynôme est nul pour ; = o, il en résulte qu'il garde le même signe dans 

 tout cet intervalle, et par suite entre zéro et //. 



M On a donc, d'après tni théorème connu, F{x,h) égale au produit 



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