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» Je ne m'arrêterai point aux calculs faciles qui donnent ces résultats, 

 et je remarque immécliatenn nt qu'il convient de les disposer dans ce nouvel 

 ordre, à savoir : 



ikcniia — —V —D„v, /i!iuua--—c — D„f, /dnwa = — b — D„b, 



Il n n 



/Xcnub — — c — D„ c, /suMb = — u — D„o, /dn«b — — n — D„o, 

 ikcnuc — —b — D„b, âhimk = —a — D„o, /dn«c — -^o — D„ii, 

 i/ccniiv = —a — D„a, AsnMP = — b — n„b, /dn«u = — c — D„c. 



n II II 



Par là se trouvent mises en évidence trois substitutions remarquables, qui 



correspondent aux multiplications des quatre fonctions par cn«, sn«, dn«, 



à savoir : 



/o, b, r, lA la. 11, r, u\ la, !>, r, ii\ 



\ii, f, b, nj' \r, 11, n, b/' \b, a, u, r/' 



elles ont la propriété caractéristique de laisser invariables les quantités 

 du type (a — b) (r — t»), et, si on les applique deux fois, chacune d'elles 

 donne la substitution identique. Représentons les quatre lettres o, b, r, u 

 par X, pour les valeurs o, i, 2, 3 de l'indice, en convenant de prendre cet 

 indice suivant le module 4'» elles s'expriment comme il suit : 



(xL)' (xLJ' 



X, 



x,_. 



» Si Ton adopte un autre ordre, en supposant que Z^ donne f, a, b, » 

 pour j = o, t, 2, 3, on retrouvera encore, sauf un certain échange, les 

 mêmes fonctions de l'indice, à savoir : 



(t)- (zL 



C'est cette disposition qu'il convient de garder, et semblablcment nous dési- 



I .^ . '7 '« 'P '" o 1 



gnerons les constantes — > — ) — , — par e, pour ^ = o, r, 2, 3: cela étant, 



nous pouvons comprendre, dans ces trois seules équations, le système de 

 nos douze relations : 



l \k en uZ, ■= £, Z„^, — D„ Z,+,, 



V') j /• SI) WZ^ =:: £^Z,_, — D„Z,_,, 



/dn«Z, =- e,Z3_, — D„Z3_„ 



