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GÉOMÉTRIli. — Sur les ijoiitts fondamentaux du réseau de surjaces défini par une 

 équation aux dérivées partielles du premier ordre ahjébrique, Linéaire par 

 rapport à ces dérivées. Note de M. G. Fovklt. 



« Considérons i'équalioii aux dérivées partielles 



(1) Vo{px- + qr - z)''+ V,{px + qr — z/-' -T- . . -r- \?^_,[px + qr — z)-i-\\--=0, 

 dans laquelle on suppose s une fonction de x et j\ dont les dérivées par- 



dz dz 



tielles sont -^- =/>, -," = </, foi l^o • ■> ^o des polynômes eïïx,j, z, /Jet o, 



d'un même degré 9 par rapport à l'ensemble des variables x, y, z, d'un 

 degré, par rap|)ort k pet 'd q, marqué par leur indice, et dont les premiers 

 peuvent être réduits à leur terme du plus haut degré, sans restreindre la 

 généralité de l'équation. Toute équation aux dérivées partielles algébrique 

 à trois variables peut être ramenée à ce type. L'équation (i) définit un 

 ensemble de surfaces que j'ai déjà étudié précédemment, sous le nom 

 d'implexe { ' ), et qui se dislingue, au point de vue géométrique, par les deux 

 propriétés suivantes : i" les plans tantjents, en un point quelconque, aux sur- 

 faces qui y passent, enveloppent un cène de classe 6; 2° les points de contact 

 d'un plan quelconque avec celles de ces surfaces qui le louchent forment une 

 courbe d'ordre (p. J'ai déjà appelé les deux nombres 5 et o les caractéristiques 

 de l'implexe. 



» Lorsqu'on suppose -^ i , l'équation (1) se simplifie et peut s'écrire 



(2) ^'{p^ -''- 'IT — 2) i^I/^ - N7 ^- R — o, 



L, M, N, R désignant des polynômes en x, ) , s de degré o, dont le pre- 

 mier peut être réduit à ses termes du plus haut degré. Le cône enveloppe 

 des plans tangents, on un point quelconque, aux surfaces de l'implexe 

 qui y passent, se réduit alors à une droite par laquelle passent tous ces 

 |)lans. En généralisant une dénomination déjà employée, à un point de vue 

 plus restreint, il.ms la théorie des surfaces algébriques, on peut appeler 

 réseau l'ensemble des surfaces définies par léquation (2). Un pareil réseau 

 jouit de la propriété suivante qui est capitale : 



» TuiiOHliME. — // existe, par rapport ù tout resecm tjcncral de surjaces de 

 caractéristupie <f, o' -f- ?* + o -+- 1 points, qui sont ordinairement des points 



(') Coiinjtci rendus, t. I,XX1X, |). 467 ft 689, t LXXX, p. 167 il 8o5, t. LXXXK, 

 p. i328 et i4(j7, et t. LXXXIV, p. .j36. 



