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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de fonctions transcendantes. Note 

 de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Je me propose de rechercher dans cette Note les fonctions uniformes 

 d'une variable z jouissant des propriétés suivantes : 



/(z + <.)=/(z), J{z+r.')=J{z)S{z), 



S(z) désignant une fonction doublement périodique, dont w et «' sont les 

 périodes. Si nous trouvons une fonctionyc) jouissant de ces propriétés, 

 nous aurons évidemment toutes les fonctions cherchées en multiplianty(z) 

 par une fonction quelconque, admettant pour périodes (ù et w'. La ques- 

 tion revient donc à trouver une fonction jouissant des propriétés 

 énoncées. 



» Considérons la fonction 



?.(s) 





nous devrons supposer que, dans —; le coefficient de /est négatif, pour que 

 le produit infini soit convergent. Ou a 



ç),(z + w) — o,(z), y,(z + w') = \i + (î '^ e " )o^[z). 

 » Nous pouvons de même obtenir une fonction y3(:), telle que 



Ç3(z + w) = 93(z), 93(s + o/) = ^n-e =- e " Jî'slz)' 

 et d'une manière générale une fonction 92„+i(z), telle que 



1 + e " c "' ) fi„^, (z). 



» Remarquons que nous avons les zéros de ces diverses fonctions. Ceci 

 posé, formons le produit o, (z) ^3 (;)... yo„^_, (z), .... 



» Ou reconnaît sans peine que ce produit, lor.sque n augmente indéfini- 

 ment, tend vers une limite et représente une fonction uniforme et continue 

 de z dans toute l'étendue du plan. Soit <I>(z) cette fonction. Elle admettra w 

 pour période, et l'on aura 



<lj(z-f- <j) 



r/ nu' ! ■3t:zI\ f Jttoj'i ■>nzl\ 



') = il>(z;|_\i + e "e^jvn-e " e" )... 



I ' ■y.n-{-\)7tro' i ■n:zi\ ~\ 



X u-f e " e " j. . . J. 



