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 ôs{^)} et je ferai de plus la convention que l'indice sera pris suivant le 

 module 4» afin de pouvoir lui supposer une valeur entière quelconque. 

 Cela posé, soit R^ le résidu correspondant au pôle u = îR' de la quantité 



, . — > ou a et X sont des constantes quelconques, et posons 



, . . ejii-+-a]r^" 



» Nous définissons ainsi un système de quatre fonctions comprenant 

 comme cas particuliers snu, cnu, dnu, lorsqu'on svippose rt = o, X = o, 

 mais qui, en général, ne sont point doublement périodiques, et se repro- 

 duisent multipliées par des constantes, lorsqu'on change u en u + 2K et 



iTzn 



t 7T n 



en «-H 2iK'('). On a en effet, en posant|j. = e^'^'^, /x' :=e '^ ■ -•'- ^ j^^ 



relations suivantes : 



$,(«+ 2K) =p.(- i)"^'"^'^ $,(«), 



- ( — ) 



et, en passant aux valeurs particulières de l'indice, les multiplicateurs seront 

 indiqués comme il suit : 



$o(*), +p., +fA', 



$,(5), —II, -H /J/, 



^.{s), — p., — fj/, 



<^,{s), +p., -p.'. 



» L'étude de leurs propriétés pourrait peut-être former un chapitre 

 nouveau dans la théorie des fonctions elliptiques, mais en ce moment je 

 dois me borner à en tirer la solution que j'ai en vue du problème de la ro- 

 tation. Je partirai de ce que les expressions Oi(//), ayant un seul pôle u = iK' 

 à l'intérieur du rectangle des périodes et pour résidu correspondant l'unité, 

 peuvent jouer le rôle d'éléments simples à l'égard des fonctions qui ont 

 les mêmes multiplicateurs. Telles seront, par exemple, les quantités 



cnu<Ps{'i^i sn?/$i(?<), dï\u^s{u); 



(') Peut-être pourrait-on, afin d'abréger, convenir d» désigner les quantités de cette 

 nature sous le nom àe fonctions doublement périodiques de seconde espèce, les fonctions 

 périodiques de première espèce correspondant au cas où les multiplicateurs seraient égaux 

 à l'unité en valeur absolue. Enfin les quantités telles que (?) (k), H(«), ..., les fonctions 

 intermédiaires de MM. Briot et Bouquet, où les multiplicateurs sont des exponentielles, 

 recevraient par analogie le nom <\e fonctions périodiques de troisième espèce. 



