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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation différentielle linéaire qui relie au 

 module la fonction complète de première espèce. Note de M. J. Taxxery, 

 présentée par M. Hermife. 



n En suivant la voie onverte par M. Canchy pour l'élnde des fonctions 

 d'une variable imaginaire, après les belles recherches de M. Piiispux sur les 

 équations algébriques, de MM. Rriot et Bouquet, sur les équations diffé- 

 rentielles du premier ordre, on se trouvait naturellement amené à étudier 

 les intégrales des équations différentielles linéaires. Les principes de cette 

 étude ont été posés en 1866, parM.Fuchs, dans un Mémoire resté classique; 

 depuis, les travaux de M. Fuchs et d'antres éminents géomètres ont consi- 

 dérablement agrandi ce nouveau domaine de la Science. Je me suis 

 proposé d'étudier une équation particulière, celle qui, dans la théorie des 

 fonctions elliptiques, relie au module la fonction complète de nremière 

 espèce, en poussant cette étude le plus loin qu'il me serait possible. Dans 

 un important Mémoire [Die Periodicitdts-modulen der liypereUiptischen In- 

 tégrale nls Functionen eines Parameters aujgefasst [Journal de Borchardt, 

 t. LXXI, p. 91)], M. Fuchs a traité de cette équation et a déduit ses 

 propriétés des résultats plus généraux qu'il avait obtenus relativement aux 

 périodes des intégrales hyperelliptiques. J'ai suivi une marche différente et 

 je me suis limité strictement à l'étude de l'équation même, indépendamment 

 du sens que ses intégrales peuvent présenter dans la théorie des fonctions 

 elliptiques. 



» Prenant de suite l'équation sous la forme 



(x- - .r) — - ( I - 2x) - + {;■ = o, 



qui est un cas particulier de l'équation à laquelle satisfait la série de 

 Gauss, on trouve des systèmes de solutions qui conviennent lorsque le 

 point qui représente la variable, réelle ou imaginaire, reste sittié : 1° dans 

 le cercle de rayon i décrit du point o comme centre ; 2° dans le cercle de 

 même rayon décrit du point i comme centre ; 3° à l'extérieur du premier 

 cercle ; 4" ''^ l'extérieur du second ; j" à droite de la corde commune aux 

 deux cercles ; 6° à gauche de la même droite ; 7° dans l'intérieur du cercle 

 décrit du point 4 comme centre avec le rayon -^- : ce sont les divers sys- 

 tèmes de solutions que j'ai étudiés. Si l'on considère les espaces dans 

 lesquels ils conviennent, on aperçoit de suite qu'ils empiètent les uns sur 



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