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H Soient Xiff" — 1,2,3, n\ les n variables qui définissent la position 



d'un point M dans l'espace considéré, et soit 



(i) ds"- =2^aijdx,(lxj, 



•j 

 où Oij = Oji sont des fonctions bien déterminées de ces variables, l'expres- 

 sion du carré de l'élément linéaire. Si l'on considère un triangle infinité- 

 simal dont les trois sommets aient pour coordonnées a?,, a?,-!- cte,et a;,- + d'x^, 

 la formule ci-dessus permet de calculer les longueurs de ses trois côtés, 

 et, par suite, aussi ses angles par les formules ordinaires de la Trigono- 

 métrie. On trouve ainsi, pour définir l'angle de deux éléments ds, d's issus 

 d'un point M, l'expression 



(2) dsd'sco&{ds,d's) = y aijdxid'xy 



'/ 

 » Si l'on considère, au point M, ce qu'on peut appeler n lignes coor- 

 données, c'est-à-dire n lignes le long de chacune dt'squelles une seule 

 coordonnée varie, et qu'on appelle c, la ligne le long de laquelle c'est la 

 coordonnée x^ qui varie, le cosinus a, de l'angle de l'élément quelconque 

 ds avec l'élément dai tangent à la ligne a,, a pour expression 



I Y' ''"j 



S^u ^ 



qui permet d'exprimer la direction d'im élément ds, soit à l'aide des n 



dr 



cosinus directeurs a,, soit à l'aide des ji rapports — ^- Enfin, Wyètantl'angle 

 de deux éléments coordonnés dGi et r/cr,, on tire de là coso,; == — -' — 



qui, avec -— = \' an, donnent la signification géométrique de tous les coef- 



ficients a^j. 



» Considérons maintenant une figure continue mobile ; soient Hx^ les 

 accroissements des coordonnées x, d'un point M pendant l'intervalle de 

 temps infiniment petit §t. Les 5a?, sont, à un instant déterminé, des fonc- 

 tions des variables .r,, en sorte que 



(3) Sdx,^d5x,=J^'^dx,, 



» Soient 1 — — - et X'= —-— les dilatations qu'éprouvent, pendant l'in- 

 ch as ^ ' ' 



tervalle de temps 5(, les deux éléments ds c\ d's. Entre ces dilatations et la 



variation o{ds,d's) de leur angle, la formule 1 2), différentiée par la carac- 



