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téristique â, donne, après quelques transformations et en ayant égard 

 à (3), la relation 



(4) (X + X') co^ids,d's) - sm{(is, d's) 8{ds,d's) = S L,y ^' ^'^ 



ou l'on a posé, pour abréger, 



k 



» Si les éléments ds et d^s coïncident 



qui fournit la dilatation d'un élément quelconque. 



» Si ris et d's sont rectangulaires au commencement du temps âl, on a 



formule très-élégante, qui fournit ce qu'on pourrait appeler, avec M. de 

 Saint-Venant, les glissements. 



» Les formules (4) et (6) comprennent nécessairement toute la lliéorie 

 de la déformation des figures, puisque la seconde donne les changements 

 que subissent les longueurs et la première les altérations qu'éprouvent les 

 angles; comme, d'ailleurs, la seconde est une conséquence de la première, 

 on peut dire que celle-ci comprend, à elle seule, toute cette théorie. 



1) Si l'on appelle X, la dilatation de l'élément coordonné da;, et 5oj,y 

 l'iiccroissement de l'angle w,y des deux éléments coordonnés f/ç, et dcj, 



il vient X, =^ —^ ; (X, -+- Xy) cos w,j — sin w^ 5a),y = '' , qui donnent la 



signification géométrique de tous les L,y. 



11 Si l'on applique les formules (4) et (6) à un espace euclidien, en re- 

 gardant les .r, comme les coordonnées rectilignes et rectangulaires, ce qui 



... .^ V ( àSxi dlv,\ 

 suppose <7,y = o, a,,- = i, il vient A — > ( — H --^]c/.;aj- 



M Pour que le système mobile reste invariable de forme, il faut et il suf- 

 fit que la ddatation Xsoit luille, quelle que soit la direction de l'élément ^Y^ 



. , , . > > ' 1 ■ à S.r, d Sa:,- , • ^ • . • I I - 



considère, c est-a-dire que — ^ H — ^ = o, quels que soient t et y ; de la 



on conclut facilement que les âx, sont des fonctions linéaires de la forme 

 âa'i = C, -4- IC/iXj, les constantes Qy étant telles que Cy + Cy, = o, ce qui, 

 dans le cas de trois dimensions, donne les formules classiques du déplace- 

 ment des systèmes invariables, et, dans les autres espaces euclidiens, les for- 



