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MÉCANIQUE. — Cakul des dilatations éprouvées par les éléments matériels rec- 

 tiliynes appartenant à une petite portion d'une membrane élastique courbe que 

 l'on déforme. Note de M. J. Boussinesq, présentée par M. de Saint-Venant. 



i( Considérons d'abord, dans son état choisi comme état primitif, la 

 petite portion de membrane dont on vent étudier les déformations. Si on 

 la rapporte à une de ses normales pour axe des z et à deux droites rectan- 

 gulaires situées dans le plan tangent correspondant pour axes des a: et desj^, 

 l'équation de cette petite portion de membrane est réductible, comme on 

 sait, à la forme 

 (i) -iz = rx'- -+- 2sxr + i/^- 



Celle-ci, différentiée, donne 



(iz — [rx 4- SY)dx -+- [sx 4- tj)dy, 

 et par suite, identiquement, 



i r.r M- SY V -{- si rt— s'''' r'" 



(-) 



dz- =. dxd- 



3 



-h djd ■ 5 — ^ -+- 2[rt — s-)xjdxdj. 



•» Nous désignerons par C, afin d'abréger, la courbure rt — s'^ de la portion 

 considérée de surface, c'est-à-dire le produit de ses deux courbures prin- 

 cipales. Enfin, la longueur primitive ds de l'élément matériel rectiligne 

 dont les projections sur les axes sont dx, dj., dz aura pour carré 



dx- + dj- + dz'^. 



» Concevons actuellement qu'on déforme la membrane, en laissant fixes 

 le point matériel situé à l'origine, le plan tangent correspondant et la di- 

 rection de l'élément rectiligne mené à partir de l'origine dans le sens des x. 

 Les petites ordonnées de la siuface seront encore données par une équation 

 analogue à (i), où les constantes r, j, t, C auront d'autres valeurs/', i', <', C. 

 De plus, les deux coordonnées primitives jt, r de chaque point matériel 

 auront reçu des accroissements il, i', qui, fonctions de x, } , s'annuleront à 

 l'origine, et dont le second y aura même sa dérivée en x nulle (à cause de 

 la fixité relative de direction de l'axe des x). D'ailleurs, les déformations 

 d'une membrane élastique dans les sens parallèles à son plan tangent étant 

 généralement fort restreintes (par suite de l'existence de limites d'élasticité), 

 les déplacements m, v seront très-petits devant x, j-, et les deux projections, 



