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 puis celles-ci : 



» Je remarquerai enfin qu'en passant du système de deux indices à un 

 indice unique on est amené à exprimer, d'une manière générale, s au 

 moyen de |j. et v. Si nous avons égard à la convention admise que s est 

 pris suivant le module 4» on trouve aisément l'expression 



S^ — I — |X -f- V +• "2 /7.V . 



Cela étant, soit de même 



et désignons par S la quantité relative aux sommes p. -i- [x' et v 4- v'. Les 

 admirables travaux de M. Weierstrass ayant montré de quelle importance 

 est, pour la théorie des fonctions abéliennes, l'addition des indices dans les 

 fonctions l\ n variables, où entrent 2n quantités analogues à p. et v, on 

 est amené, dans le cas le plus simple des fonctions elliptiques, à chercher 

 l'expression de S en s et s'. M. I.ipschitz m'a communiqué la solution de 

 cette question par la formule élégante 



S^ — I— ^ — / — 2ss' (mod. 4), 



et voici comment l'éminent géomètre la démontre. Écrivons l'égalité pré- 

 cédemment donnée : 2 j ses — i _ |j. 4- v + 2fj.v sous cette forme 



2J + 1 ;EB(2y. -f- i)(2v— i) (mod. 8), 



et remarquons qu'on peut poser, fi et v étant zéro ou l'unité, 



2 /x -t- I ESE 31^, 2v — lis — 7' (mod. 8). 



On en conclura 



2j-f-i = - '^^f (mod. 8); 



or les relations analogues 



2^4-1 = - 3i''7'', 2S + I = - '^v-^v-'^-'-^-'' (,„od. 8), 



