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 variables, autres que .r„, fonctions arbitraires sons les réserves suivantes : 

 Ny = Ny,; N,„ =N,„ = o, quel que soit /; N„ — o, dont la première vient 

 de ce que Ojj = «,-,. 



M On vérifiera aussi que c'est là la solution la plus générale des équa- 

 tions [c). 



» On en déduit 



*'=S 



a,y dXi dXj 



= ^^r,àx,dxj + a^N, ^.^x, dx^ + N^^.^^,r/^y, 



i; 1/ ■; 



ou plus simplement 



(e) ds- =y ^ijdXidxj-^1 dfS N,(/a-, + Nr^\ 



» Observons que la lettre x„ ne figure pas dans les coefficients du se- 

 cond membre; que, de plus, dans les sommes 2, on peut supposer que 

 / et / ne prennent que les valeurs r, a, 3, ...,/«— i ; car les termes ré- 

 pondant à i ou y = n sont nuls en vertu de N,„ ^ N„ = o. 



» Donc, si l'on prends?,, x^, ..., a7„_, et y pour variables, le second 

 membre est une forme quadratique de n différentielles : dx,, dx^, .. . , 

 dx„_,, df, dont les coefficients ne renferment pas la variabley* récipro- 

 quement, il est évident que, si un espace est tel que son ds^ puisse être 

 mis sous la forme (e) dans les coefficients de laquelle manque une des 

 variables, celle/, un système invariable pourra y être déplacé. 



» Il suffit, en effet, de donner à une figure le déplacement pour lequel 

 037, = âxo = . . . , 5a7„_, = o et o/= £ = const., pour que ods soit identi- 

 quement nul. On a donc ce théorème : 



» Pour qu'un espace soit lelquon ^'puisse déplacer un système invariable, à 

 partir de lime quelconque de ses positions dans une direction, il faut et il sujfit 

 que la jorme quadratique qui représente, dans cet espace, le carré de l'élément 

 linéaire, jniisse être transformée de façon que ses coefficients perdent une de 

 leurs variables. 



» Pour (pi'une figure puisse être déplacée dans k directions distinctes, il 

 faut et il suffit que cette forme puisse être transformée de manière, non pas à 

 perdre k de ses variables, mais à perdre, de k manières différentes, une de ses 

 variables. 



