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» Le lésullat de l'élimination de âx, et ÔJCo entre les équations (a) devra 

 nécissaireuiciit être identique à celui de l'élimination de P, et P, entre les 

 équations [fti). Cela est nécessaire d'après les théories précédemment ex- 

 posées; mais il est facile de le vérifier directement et même de ramener les 

 deux systèmes d'équations à être identiques, ce qui conduira à une consé- 

 quence intéressante. 



» Si l'on ajoute les équations (a) multipliées respectivement par 

 f^iiyfiin — 2rt,n, il vient, en posant, pour abréger, n,,a^^ — ft.h = A, 



1) Si l'on lire delà : \° la valeur de —r—^ et qu'on la porte dans la se- 

 conde (a); 2° la valeur de -— ^ et qu'on la porte dans la première (a); 



[\° la valeur de ——^ -+- -^r^et qu'on la porte dans la dernière (a), on re- 

 produira, après qi'.elques réductions faciles, les trois équations {^j) où les 

 lettres P, et P^ seront simplement remplacées par â,i\ et (ioc^,; d'où ré- 

 sultent deux conclusions : la première, c'est la vérification du fait que les 

 conditions de compatibilité des équations (a) et (/3) sont les mêmes; la 

 seconde est celle-ci : quelles que soient les variables j:,, x^ à l'aide des- 

 quelles est exprimé le carré de l'élément linéaire d'une surface applicable 

 sur une surface de révolution, les coefficients P, et Pj qui entrent dans 

 l'intégrale linéaire du problème des lignes géodésiques sur cette surface 

 sont proportionnels aux variations oV,, ox., des coordonnées d'un point 

 d'une figure qu'on déplacerait infiniment peu sur cette surface sans chan- 

 ger les longueurs des lignes qui y sont tracées, ou, si l'on veut, propor- 



tionnelJes aux dérivées -v-> ^ de ces coordonnées par rapport au temps. 

 » Si l'on applique ces formules à la recherche de la condition pour 

 qu'une surlace rapportée à un système de lignes géodésiques et à ses per- 

 pendiculaires, c'est-à-dire pour laquelle on a 



ils- = clj- + V.dx% 



soit applicable sur une surface de révolution, on devra faire : Xi=y', 



Xo = a; rt,, = I ; rt|2 = o; rt.o = G et l'on trouvera, en posant j '-^ = z, 



que la fonction z doit satisfaire à l'équation à dérivées partielles du second 

 ordre 



s{B — A'z) -+■ Al -h 2(j{\"z 4- A'/> - B') ^ o. 



C. R., 1878, 1" Scmnirc. ( I . LXXXVI, N» la.) I 2^ 



