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 fractions simples 



monlre que l'on peut exprimer la somme de la série à l'aide des fonctions 



(0 ^F(^)=-i+Iog2-^ + log-, ..., 



(-) n^) = :^ + 17i77+---' 



qui, pour des valeurs de x réelles positives ou imaginaires à partie réelle 



r/logr(.r) rfMogr(.r) 



positive, ne sont autres que les fonctions — -^ — î -^^ » ....un 



peut conclure de là que, si le dénominateur de ii„ n'admet que des 

 racines commensurables simples ou doubles, la somme de la série est 

 réductible aux logarithmes et aux arcs de cercle; mais je laisse de côté la 

 démonstration de celle proposition pour m'occuper de séries convergentes 



dont le terme général v„ est une fonction rationnelle de û\\2an et cos2rtn, 

 a étant une constante imaginaire dans laquelle je puis supposer le coeffi- 

 cient de V ^ positif. La décomposition de v„ en éléments simples, ana- 

 logue à la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, 

 donne (Hekmite, Jnalyse, p. Sai) 



t.„==H(«)+K(;/). 



ou 



(3) n(«) = 2/>;,e="''"v'-., 



h désignant un entier positif ou négatif, et 



(/■| ) R(«) =^ k+1 ,1. cota [n + a) + X^ ^^ ' + . . . x^ ^ 



Puisque le coefficient de sf^^i dans n est supposé positif, il ne pourra 

 y avoir dans la partie ontière n(n) que des termes correspondant à des 

 valeurs positives de /?, car autrement le terme général t'„ croîtrait indéfi- 

 niment avec II ; celte condition étant remplie, les différents termes de ^[n) 



