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)) Le même fait a lieu à l'égard des fonctions {x — z)'" et log(x - ;), 

 quoique d'une manière moins directe. 



» Pour prendre l'exemple le plus simple, soit à développer (jt — c)'" 

 suivant les puissances croissantes de (s- — i). Posons 



{x - z.y = I{\J„ + z\„) (z- -- if ; 



on obtiendra facilement les relations suivantes: 



m U„ r^ X U; - V„ - VL, , mWn^x Y,, - U^ : 



U'„= _(an-M)V„-(«-M)V„,,, r„- -2(«-+-i)U„,,. 



» D'où l'on conclut que V„ satisfait à l'équation linéairo du second 

 ordre 



fui v\ ■ • / T" - ^ T \ '" 



Désignons maintenant par J— | la «'""" rédm'te de la fraction ( _ ; je 

 veux dire par là que (f{x) etj[x) sont des polynômes du degré ii, tels que 



/ T -4- I \ "* 



le développement dey(.r) i_ j — f{x), suivant les puissances descen- 

 dantes de la variable, commence par un terme de l'ordre de -j;^^- 



-- — I satisfait à l'équation 



d'où l'on voit que <^ = {x + i)'"J{x) — (.r — i)'" y (x) satisfait à l'équation 

 l^x" — i) — — 2j:'(/?2 — i) -- -:- [m[m — i) — n[ii — i)] v - - o, 



et —- a 1 équation (i). 



» On peut donc énoncer la |)roposition suivante : 



» Si ion déiujnc parj;^. la n'"'"" rnlnUc de (- ' - ] ■> le cocfficiciU de 



{ ' "i Voir, par exenii>le, ma Note Sur l'approxinintinn des foiirtinns d'une variable au 

 moyen de fractions rationnelles {Bulletin de la Société mathématique, t. V, p. 85). 

 C.K., l8:8, l" Semt'tre.O. IXXXVI, N" i:!.) J ^/f 



