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 z[z- — i)", dans te développement de {x — z)'" smunnl les puissances crois- 

 santes de {z- - 1 ), est égal à la n'^'"^ dérivée de l'expression 



.) Des circonstances toiiteà semblables se présentent dans le développe- 

 ment fie {jc — c)'" suivant les puissancesd'un polynôme de degré quelconque. 

 Je ne m'étendrai pas davantage à ce sujet, me bornant à considérer, 

 à cause de sa simplicité, le développement de \og{x — z) que l'on peut 

 considérer comme correspondant au cas où m devient égal à zéro. 



» F(z) étant un polynôme du degré m + i, soit 



log(x-^) = 2(U„+ . . . + z'"V„)F«(z), 



on en déduit 



.V — z f[xj — t\z) 

 d'où 



— =.2(U'„ + ... + z'"V„)F"(z); 



Y'= ' ■ 



I) En désignant par z„, c,, . . ., :;„ les racines de l'équation F(c) — o, 

 considérons l'expression 



" - n.iog (^,- !;) -f- n.iog(^) 4- . . . + n,„iog(^) - n, 



où n, n,, Ho, . . ., n,„ sont des polynômes entiers du degré n qui rendent 

 l'expression L} de l'ordre le plus élevé possible en -•> c'est-à-dire de l'ordre 



de • 



1) M. Hermitea montré (')quela {rt -+- i)'™« dérivée de est précisément 

 - ; on en conclut que V„ et la /i'""* dérivée de ne peuvent différer 



que par un terme constant. De la règle donnée par Jacobi, on déduit 

 d'ailleurs que V„ est de l'ordre de --,^7^; par suite les développements de 



V„ et de ^5 suivant les puissances décroissantes de x, commençant tous 



les deux par un terme de l'ordre de „,„ ^„,^,^ et ces deux fonctions ne pou- 



vaut diiierer que par une constante, on a V„ = -—• 



(') Sur quclijtu's cijiiiilio/is dijférciitiellcs lincnircs [Journal de Borclianlt, t. 7L(). 



