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 il 

 où 7{ = - — 3. Ce sont : i" des surfaces fermées, symétriques par rapport à 



un équateur horizontal, quand c" est > o; 2° des surfaces ayant la forme 

 d'un entonnoir à bord évasé, convexe vers le haut et qui tend à devenir 

 horizontal pour /' infmi, quand c" et 7i sont <; o ; 3" de simples cônes 

 quand on a c" = o, n <^ o. Les seules de ces surfaces dont la courbure, au 

 fond, ne soit ni nulle ni infinie, correspondent k n ■== i , i — i , j = 2 : ce 

 sont des ellipsoïdes ayant leur axe vertical polaire moitié de l'axe ëquntorial. 



» A une deuxième approximation, c'est-à-dire quand on tient compte 

 des quantités de l'ordre de e^ dans l'expression (3) de P, il n'y a plus de 

 surface pour laquelle P soit constant. Par exemple, si l'on suppose z très- 

 petit, on trouve 



pour n < o, et 



yZ/îH-sL 2 V12 4 yj 



pour n > o, en négligeant dans le second cas les puissances z'\ etc. Les 

 trajectoires ne se ferment donc, à des erreurs près d'ordre supérieur au 

 produit e^js'-, que si l'on an=i. Mais, pour «= i, la seconde for- 

 mule (3) devient, en toute rigueur. 



r 3e=z" -| 



» D'ailleurs, j'ai démontré, dans une Note du i o septembre 1877 (Com/j<e5 

 rendus, t. LXXXV, p. SSg), que pour toutes les surfaces ayant, en leur 

 fond, plan tangent horizontal et courbure finie, les petites oscillations se 

 font, à fort peu près, suivant des ellipses, animées, autour de leur centre, 

 d'une vitesse de rotation qui a un rapport sensiblement constant avec leur 

 aire même. Ce rapport étant nul, comme on vient de voir, pour de petites 

 orbites quasi-circulaires, dans l'ellipsoïde d'aplatissement '^, y sera sensi- 

 blement nul aussi pour des trajectoires d'une autre forme. 



u J'ai reconnu encore, dans la même Note du 10 septembre 1877, que 

 la surface à méridien cycloidal est tautochrone pour les petites oscillations, 

 quand on néglige, dans l'expression de T, les puissances du carré de l'am- 

 plitude supérieures à la jjremière. ûlais il n'en est plus de même à une 

 approximation plus élevée; car si cette surface, à l'exclusion de toute autre, 



